Der Ableitungsvektor einer reellwertigen Funktion
wird so häufig gebraucht, dass er einen eigenen Namen verdient.
heißt Gradient von an der Stelle
.
Der Gradient
einer reellwertigen Funktion
ist die transponierte totale Ableitung von
. Der Gradient ist ein Spaltenvektor, während die totale Ableitung von
ein Zeilenvektor ist.
Diesen Zusammenhang zwischen partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion finden Sie analog auch bei vektorwertigen Funktionen.
Existiert die totale Ableitung einer vektorwertigen Funktion
mit den Komponentenfunktionen
an der Stelle
, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen
von
. Die totale Ableitung von
ist dann durch die Matrix
gegeben. Wie im Abschnitt »Totale Differenzierbarkeit« bereits erwähnt wurde, heißt diese Matrix Jacobi-Matrix von
.
Wie am Anfang dieses Abschnitts gesagt wurde, existieren für eine total differenzierbare Funktion auch die partiellen Ableitungen. Die Umkehrung stimmt aber nicht immer: Eine Funktion kann an einer Stelle
zwar alle partiellen Ableitungen besitzen, sie muss aber trotzdem nicht total differenzierbar sein.
Ein Beispiel: Die Funktion mit
ist nach dem Abschnitt »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung« an der Stelle zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen
und
. Wäre die Funktion
dort auch total differenzierbar, dann müsste
in
stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.
Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.
Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen oft ansehen, dass die Funktion