Der Ableitungsvektor einer reellwertigen Funktion wird so häufig gebraucht, dass er einen eigenen Namen verdient.
Der -dimensionale Spaltenvektor
heißt Gradient vonan der Stelle.
Der Gradient einer reellwertigen Funktion ist die transponierte totale Ableitung von . Der Gradient ist ein Spaltenvektor, während die totale Ableitung von ein Zeilenvektor ist.
Diesen Zusammenhang zwischen partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion finden Sie analog auch bei vektorwertigen Funktionen.
Existiert die totale Ableitung einer vektorwertigen Funktion mit den Komponentenfunktionen an der Stelle , dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen von . Die totale Ableitung von ist dann durch die Matrix
gegeben. Wie im Abschnitt »Totale Differenzierbarkeit« bereits erwähnt wurde, heißt diese Matrix Jacobi-Matrix von.
Wie am Anfang dieses Abschnitts gesagt wurde, existieren für eine total differenzierbare Funktion auch die partiellen Ableitungen. Die Umkehrung stimmt aber nicht immer: Eine Funktion kann an einer Stelle zwar alle partiellen Ableitungen besitzen, sie muss aber trotzdem nicht total differenzierbar sein.
Ein Beispiel: Die Funktion mit
ist nach dem Abschnitt »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung« an der Stelle zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen und . Wäre die Funktion dort auch total differenzierbar, dann müsste in stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.
Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.
Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen oft ansehen, dass die Funktion
