Ist eine Funktion in einer Umgebung von nach allen Variablen partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen sind im Punkt stetig, dann ist die Funktion in auch total differenzierbar.
Für sehr viele praxisrelevante Funktionen können Sie die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht feststellen und erhalten damit dann automatisch die totale Differenzierbarkeit.
Ein Beispiel: Die Funktion
ist in der Umgebung eines jeden Punkts partiell differenzierbar:
Diese partiellen Ableitungen sind Polynome in den drei Variablen und und daher überall stetig. Damit ist die Funktion überall total differenzierbar.
Richtungsableitungen
Wie im Abschnitt »Nur einen Teil: die partielle Ableitung« erläutert wurde, sind die partiellen Ableitungen der Funktion die Änderungsraten der Funktion in die Richtungen der -ten Koordinatenachse. Ähnlich wie die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinantenachsen gibt es Richtungsableitungen einer Funktion in beliebige Richtungen .
Für eine reellwertige Funktion können Sie sich vorstellen, dass die partiellen Ableitungen Ihnen die Steigung des Graphen in die durch die Koordinantenachsen vorgegebenen Himmelsrichtungen angibt. Eine Richtungsableitung in Richtung gibt Ihnen entsprechend die Steigung des Graphen in dieser Richtung an.
Für eine Funktion und einen Richtungsvektor heißt
die Richtungsableitung vonin Richtungan der Stelledes Definitionsbereichs von.
Sie können die Steigung einer differenzierbaren reellwertigen Funktion in jede beliebige Richtung mit Hilfe der durch den Gradienten gegebenen totalen Ableitung direkt aus den Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen, den partiellen Ableitungen, berechnen. Es ist
Dabei ist der Winkel zwischen dem Gradientenvektor und dem Richtungsvektor . Aus dieser einfachen Beziehung erhalten Sie eine interessante Schlussfolgerung:
Verwenden Sie normierte Richtungsvektoren mit Betrag , dann ist die Steigung in Richtung des Gradienten maximal und senkrecht zur Gradientenrichtung minimal, da in diesen Fällen der Winkel beziehungsweise ist. Die Steigung verschwindet auf jeden Fall dann, wenn der Richtungsvektor senkrecht auf dem Gradienten steht. In diesem Fall ist der Winkel und daher . In diese Richtung ist die Funktion
