rel="nofollow" href="#fb3_img_img_c60ca97c-b457-5e3b-a63c-7eee535b951c.png" alt="f left-parenthesis x right-parenthesis"/> suchen Sie dabei eine Funktion
, eine sogenannte
Stammfunktion, die als Ableitung die Funktion
besitzt. Diese Form der Integration wird auch
unbestimmte Integration genannt.
Sind
und
auf dem Intervall
definierte Funktionen, so heißt
eine
Stammfunktion zu
, wenn für alle
gilt.
Wahrscheinlich ist allerdings die andere Sichtweise der Integralrechnung die, die Sie zuerst kennengelernt haben: die Flächenberechnung unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.
Eine
Riemannsche Summe zu einer gegebenen Funktion
auf dem Intervall
und einer Unterteilung in Teilintervalle
für
durch gegebene Punkte
ist eine Summe
mit Zwischenpunkten . Eine solche Unterteilung des Intervalls in lauter Teilintervalle wird Zerlegung von genannt. Die Feinheit einer Zerlegung ist die maximale Länge eines Teilintervalls der Zerlegung.
Eine Riemannsche Summe ist also nichts anderes als eine Näherung an die Fläche unter dem Graphen von durch viele kleine Rechtecke der Breite und Höhe , wie Sie in Abbildung 1.5 dargestellt ist.
Abbildung 1.5: Approximation der Fläche
durch Rechtecksflächen
Falls alle möglichen Riemannschen Summen für immer kleinere Feinheiten der zugrunde liegenden Zerlegung gegen ein und denselben festen Wert konvergieren, dann erhalten Sie damit das Integral der Funktion .
Es sei
eine auf dem Intervall
beschränkte Funktion mit
für alle
.
Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen mit und eine beliebige Auswahl von Zwischenpunkten die Riemannschen Summen gegen einen gemeinsamen Grenzwert , dann heißt integrierbar auf [a,b], und die Zahl heißt bestimmtes Integral über im Intervall [a,b]. In Formeln:
Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.
Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz
