Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried. Читать онлайн. Newlib. NEWLIB.NET

Автор: J. Michael Fried
Издательство: John Wiley & Sons Limited
Серия:
Жанр произведения: Математика
Год издания: 0
isbn: 9783527839100
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Analysis, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie, stochastische Prozesse – das alles klingt nach fortgeschrittener Mathematik. Und das ist es auch. Die Themen dieses Buchs bauen auf mathematischen Methoden aus der linearen Algebra und der eindimensionalen Analysis auf. Naturgemäß können nicht alle Grundlagen ausführlich erläutert werden: Das Buch hätte dann mindestens den doppelten Umfang. Ich gehe daher davon aus, dass Sie den größten Teil der benötigten Grundlagenmathematik schon kennen. Dazu gehören die Grundbegriffe der mathematischen Sprache, neben den üblichen Rechensymbolen auch die logischen Zeichen there-exists für »es existiert« und for-all für »für alle«, das Zahlensystem der reellen Zahlen double-struck upper R mit den darin enthaltenen natürlichen Zahlen double-struck upper N, den ganzen Zahlen double-struck upper Z und den rationalen Zahlen double-struck upper Q und die darauf aufbauende Vektorrechnung in den n-dimensionalen Vektorräumen double-struck upper R Superscript n oder die eindimensionale Analysis.

      Keine Panik! Die für dieses Buch wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesen Bereichen werde ich in diesem Kapitel kurz erläutern. Falls Sie darüber hinaus neugierig geworden sind, wie das alles im Detail aussieht, können Sie das zum Beispiel im ersten Band »Mathematik für Ingenieure 1 für Dummies« nachlesen.

      Vektor- und Matrizenrechnung

      In diesem Buch werden überwiegend die beiden reellen Vektorräume double-struck upper R squared und double-struck upper R cubed auftreten, die gleichwertig entweder als zwei- beziehungsweise dreidimensionale Spaltenvektorräume oder als zwei- oder dreidimensionale Zeilenvektorräume aufgefasst werden.

      Zwischen Spaltenvektoren

Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n EndMatrix

      und Zeilenvektoren left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis können Sie mit Hilfe der Transposition umschalten. Die mit einem hochgestellten down-tack bezeichnete Transposition vertauscht Zeilen mit Spalten:

left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis Superscript down-tack Baseline colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix und Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix Superscript down-tack Baseline equals left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis

       Spaltenvektoren (und analog Zeilenvektoren) werden komponentenweise addiert:

Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix plus Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 plus y 1 2nd Row x 2 plus y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline plus y Subscript n Baseline EndMatrix

      Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.

      Jeden reellen Vektor können Sie mit einer beliebigen reellen Zahl lamda element-of double-struck upper R skalar multiplizieren. Die skalare Multiplikation wird ebenfalls komponentenweise durchgeführt:

lamda Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row lamda x 1 2nd Row lamda x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row lamda x Subscript n Baseline EndMatrix

      Vektoraddition und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.

x equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix comma y equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix semicolon x comma y element-of double-struck upper R Superscript n

      definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors x element-of double-struck upper R Superscript n bestimmen.

      

Für beliebige Vektoren x comma y element-of double-struck upper R Superscript n heißt die reelle Zahl

left pointing angle x comma y right pointing angle colon equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts x Subscript i Baseline y Subscript i Baseline

      das Standardskalarprodukt der Vektoren x und y. Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist

x dot y colon equals left pointing angle x comma y right pointing angle period

      Die euklidische Norm eines Vektors x element-of double-struck upper R Superscript n ist durch

parallel-to x parallel-to colon equals StartRoot x dot x EndRoot equals StartRoot 


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