Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

moments d'ordre n. Són també d'interès el valor mitjà de la desviació , anomenat moment central de primer ordre,

      i la dispersió ( o moment central de segon ordre)

      Notem que en aquest cas cada terme de la suma en l'eq. (9) és positiu o nul, ja que i també P(ui) ≥ 0. Com menys agrupats estiguen els valors de «¿ a l'entorn de u, més gran serà la dispersió. Es poden definir altres valors mitjans, com el moment d'ordre enèsim (À«)ⁿ amb n > 2, però són de menor utilitat. A partir de l'eq. (12) es defineix la desviació quadràtica mitjana o desviació estàndard com

      La magnitud ∆^*u és una mesura lineal de l'amplitud del recorregut en què la variable u està distribuïda. El quocient informa sobre la desviació relativa de la variable u respecte del valor mitjà, i és de gran importància en Física Estadística. El coneixement més complet que es pot tindré d'una variable aleatòria és la seua distribució de probabilitat, la qual cosa permet calcular tots els seus moments. A la inversa, és possible obtindré aquesta distribució si es coneixen tots els moments. El coneixement dels primers moments és, però, suficient per a la major part dels problemes en Física Estadística.

      Estem en condicions d'aplicar ara les definicions i resultats de les eqs. (9) –(13) al cas particular de la distribució binòmia de l'eq. (6). A partir de l'eq. (10), resulta

      prenent p i q com a dues variables independents a l'efecte de la derivació, i substituint (p + q) = 1 una vegada efectuada aquesta. Conegut , , d'on . Aquests resultats es podrien haver anticipat: com que p és la probabilitat d'un pas a la dreta, el nombre mitjà de passos a la dreta d'un total de N és Np. Notem que si p = q, aleshores tal com es pot esperar en una situació simètrica.

      La dispersió es pot ara avaluar de la forma

      on hem fet ús de

      amb . Així queda que

      amb . O siga, la desviació quadràtica mitjana (i, amb això, el recorregut dins del qual n₁ està distribuïda) augmenta amb , però l'amplitud relativa d'aquest recorregut disminueix amb . Aquests resultats, que es poden comprovar a partir de la fig. 9a–b per a una distribució binòmia amb p = q = 1/2, són de gran importància en Física Estadística. Finalment, com que , veiem de seguida que , fent servir l'eq. (15).

      Figura 9a

      Figura 9b

3.3 Distribució de Gauss

      La distribució de probabilitats de Gauss o distribució gaussiana es pot obtindré com a límit de la distribució binòmia quan N pren valors grans. Abans de demostrar aquest resultat, exposarem de forma breu com es pot passar d'una distribució de probabilitats W de variable aleatòria ui discreta a una altra distribució w de variable u contínua [de la Rubia i Brey, cap. 1].

      Una variable aleatòria contínua es defineix mitjançant la funció densitat (o distribució) de probabilitat w(u) el significat de la qual és tal que

      w(u)du = probabilitat que la variable u prenga un valor dins de l'interval comprès entre u i u+du.

      Suposem una variable aleatòria discreta ui amb distribució de probabilitat W(ui). Per a major senzillesa, admetrem que la diferència entre dos valors consecutius de la variable anterior pren un valor constant δu, de manera que u_i+1 - ui = δu, ∀i. Admetrem a més que δu és suficientment petita com perquè puguem definir un du que, tot i permetent la utilització del càlcul diferencial, siga molt més gran que δu (vegeu la fig. 10).

      Figura 10

      Finalment, suposarem que la variació de W amb ui és suficientment lenta com perquè W(ui) siga aproximadament constant per a tots els ui situats dins un mateix interval d'amplitud du. Tenint en compte que en l'interval du hi ha du/δu valors permesos de la variable discreta, w(u)du = W(punts en l'interval du) x du/δu, que permet passar d'una distribució discreta a una altra contínua i viceversa. Totes les definicions referents a valors mitjans i normalitzacions vistes per a una variable discreta es poden traslladar al cas continu substituint sumatoris per integrals, i tenint en compte que es possible estendre el rang de qualsevol variable aleatòria contínua des de -∞ a +∞ simplement considerant nuls els valors de la funció densitat de probabilitat corresponents a valors no possibles de la variable aleatòria. L'eq. (9) queda aleshores així

      Estem ja en condicions d'estudiar el límit de la distribució binòmia en l'eq. (6) quan N → ∞. Aquest límit està tractat de forma rigorosa en la bibliografia [de la Rubia i Brey, cap. 1; Reif, cap. 1], i ací ens limitarem tan sols a esbossar-ne els detalls més importants. Si N pren un valor gran, la distribució binòmia tendeix a presentar un màxim molt pronunciat al voltant de ,