Der Zusammenhang zwischen der Schwarzkörperstrahlung bei gegebener Wellenlänge und der Temperatur, das Plancksche Gesetz, kann für verschiedene Strahlungsgrößen formuliert werden. Für unpolarisierte Strahlungsflussdichten in den Halbraum gilt:
Die Größen in der Planck-Funktion sind:
Wellenlänge λ in m
Plancksches Wirkungsquantum h = 6,6256 10–34 W s2
Lichtgeschwindigkeit c = 2,9979 108 m s–1
Die Boltzmann-Konstante k = 1,3804 10–23 W s K–1 ist eine weitere Naturkonstante, die die Energie eines Teilchens mit seiner Temperatur verknüpft. Die Temperatur T im Planck-Gesetz ist die absolute Temperatur, die sich durch T = t + 273,15 aus der Temperatur t in °C ergibt. Häufig wird das Plancksche Gesetz auch in einer Form mit zwei Konstanten c1 und c2 angegeben, in denen die festen Größen bereits zusammengefasst sind.
Da λ in Gleichung 2.7 mit der Einheit m verwendet werden muss, ergibt sich die Strahlungsflussdichte in W m–2 m–1. Es ist formal natürlich möglich, W m–3 zu schreiben, aber das ist unsinnig, da es sich nicht um die Strahlungsleistung in einem Volumen handelt, sondern um die von einer Fläche ausgehende Strahlung in einem Spektralintervall. In der Praxis wird die spektrale Strahlungsflussdichte in einer Dimension angegeben, in der die Wellenlänge mit einer Dimension berücksichtigt wird, wie sie dem betrachteten Spektralbereich entspricht, z. B. in W m–2 μm–1.
Die von einem Schwarzkörper emittierte Strahlung ist isotrop verteilt. Damit ergeben sich Werte für die nach dem Planckschen Gesetz abgestrahlte Strahldichten Lλ (T), indem Mλ durch π dividiert wird. Diese Division durch ein π ergibt sich wegen der Kosinus-Wichtung (Gl. 2.6), obwohl die Strahlungsflussdichte in einen Halbraum emittiert wird, also in den Raumwinkel 2 π.
Abbildung 2.10 zeigt spektrale Strahldichten, wie sie nach dem Planckschen Gesetz von einem Schwarzkörper bei verschiedenen Temperaturen ausgesendet werden. An der y-Achse lässt sich ablesen, wie viel Energie jede an der x-Achse angegebene Wellenlänge zu der gesamten Strahlung beisteuert. Zu beachten ist, dass beide Achsen logarithmisch geteilt sind, um den großen Variationsbereich abzudecken. Die Strahlung, die von einem Schwarzkörper mit 6000 K ausgesendet wird, beschreibt die Größenordnung der Strahlung von der Sonne, und die von einem Körper mit 273 K steht für von der Erde emittierte Strahlung. Die Kurven für die dazwischen liegenden Temperaturen dienen zur Veranschaulichung, sie sind aber für die Satellitenmeteorologie praktisch nicht von Bedeutung. Die rote Linie verbindet die Wellenlängen mit maximaler Strahlung, ein Aspekt der im nächsten Abschnitt näher behandelt wird.
Abb. 2.10
Spektrale Strahldichten von Schwarzkörpern mit 6000, 2000, 600 und 273 K. Die rote Linie gibt das jeweilige Strahlungsmaximum an.
Die Strahlungsverläufe sind asymmetrisch mit einem steilen Anstieg bei kürzeren Wellenlängen und einem flacheren Abfall im längerwelligen Bereich. Mit zunehmender Temperatur steigt die Strahlung bei allen Wellenlängen, die Kurven schneiden sich nicht. Weiter ist zu erkennen, dass der strahlende Schwarzkörper bei allen Wellenlängen Strahlung abgibt, wobei dieser Eindruck aber durch die logarithmische Darstellung stark betont wird. Bei Beachtung der Überlegung, dass die Werte bei zwei Zehnerpotenzen unterhalb vom Maximum nur noch 1 % der Werte im Maximum haben, zeigt sich, dass die relevante Strahlung bei einer gegebenen Temperatur jeweils nur aus einem sehr kleinen Spektralbereich kommt. Bei Darstellung der Strahlung mit linearer Skala wird diese Konzentration auf einen begrenzten Spektralbereich schnell deutlich.
Als Beispiel zeigt Abbildung 2.11 Strahlung nach Planck für 5800 K – wieder stellvertretend für die Strahlung der Sonne – mit Werten, die im Maximum auf 1 normiert sind. Markiert sind die Wellenlängen, bei denen die Strahlung auf 2 % des Maximums gefallen ist, bei rund 0,2 und knapp 3 μm, wodurch der Wellenlängenbereich dokumentiert wird, in dem die solare Strahlung wirklich wesentlich ist. Zusätzlich zeigt die Abbildung das hoch aufgelöste Spektrum der Sonne, so wie es gemessen wird. Damit wird deutlich, dass die Modellierung als Schwarzkörper mit 5800 K die Strahlung der Sonne zwar im Mittel richtig wiedergibt, aber bei spektralen Messungen das tatsächliche Sonnenspektrum berücksichtigt werden muss.
Zum allgemeinen Verständnis soll noch ergänzt werden, dass bei einer Darstellung der Planck-Funktion mit zwei linearen Skalen – wie in Abbildung 2.11, aber nicht normiert, sondern mit absoluten Zahlen – die Fläche unter der Kurve dem Integral über die Wellenlängen entspricht, also den Werten nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (Gl. 2.10). Die übliche Darstellung mit logarithmischen Skalen ist hierfür nicht hilfreich, aber eben nötig, um die großen Unterschiede bei verschiedenen Temperaturen in einer Abbildung zu zeigen.
Abb. 2.11
Spektrale extraterrestrische Strahlung der Sonne und Strahlung eines Schwarzkörpers mit der Temperatur der Sonnenoberfläche, normiert auf 1. Angegeben sind die Wellenlängen, bei denen die Strahlung 2 % vom Maximum beträgt (nach einer Idee von Häckel, 2008).
2.2.2 Die Wellenlänge maximaler Strahlung und das Rayleigh-Jeans-Gesetz
Aus dem Planckschen Gesetz lässt sich die Wellenlänge mit maximaler Emission ableiten. Es ergibt sich der einfache Zusammenhang, dass das Produkt von dieser Wellenlänge und der Temperatur konstant ist, die Wellenlänge maximaler Emission also umgekehrt proportional zur Temperatur ist.
Hierbei wird die Wellenlänge in Meter und die Temperatur absolut in Kelvin angegeben.
Es gilt also, dass sich das Maximum der Strahlung mit abnehmender Temperatur zu längeren Wellenlängen verschiebt oder umgekehrt mit steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen, wie in Abbildung 2.10 als schräge rote Linie eingetragen. Da dieses Gesetz schon vor Planck von Wilhelm Wien gefunden wurde, heißt es „Wiensches Verschiebungsgesetz“.
Als anschauliches Beispiel für diese Tatsache wurde schon das Erhitzen von Eisen angeführt. Im kalten Zustand sendet es keine vom menschlichen Organismus wahrzunehmende Strahlung aus. Aber mit zunehmender Temperatur verschiebt sich das Maximum der Strahlung zu immer kürzeren Wellenlängen bis in den sichtbaren Bereich. Für solare Strahlung liegt das Maximum bei 0,5 μm, also in einem Bereich, wo das menschliche Auge besonders empfindlich ist. Für die Erdoberfläche, mit einer Temperatur von 15 °C oder 288 K, ergibt sich das Strahlungsmaximum bei rund 10 μm.
Ein weiteres schon vor Planck bekanntes Gesetz ist der lineare Zusammenhang zwischen der Temperatur des Strahlers und der spektralen Strahlung bei großen Wellenlängen. Es wurde von John William Strutt, dem späteren Lord Rayleigh, zusammen mit J. H. Jeans entdeckt und heißt dementsprechend „Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz“. Dieser lineare Zusammenhang ist aber natürlich auch durch das Plancksche Gesetz abgedeckt und lässt sich aus diesem ableiten, indem für exp(x) = 1 + x gesetzt wird, was für sehr kleine x und damit für große Wellenlängen gilt.
Bei vorgegebener Wellenlänge ist unter diesen Bedingungen die Strahlungsflussdichte und damit auch jede zu messende Strahldichte direkt proportional zu der Temperatur des Strahlers. Für die Satellitenmeteorologie ist das Gesetz von praktischer Bedeutung, da es bei Mikrowellen und irdischen Temperaturen das Plancksche Gesetz mit einem Fehler von kleiner als 1 ‰ wiedergibt. Bei der Fernerkundung mit Mikrowellen wird das gemessene Signal deshalb üblicherweise gar nicht als Strahldichte, sondern gleich als Temperatur angegeben,