Volviendo al tema de la función de onda ψ, debe anotarse que las soluciones de la ecuación de Schrödinger no son reales, sino complejas, o sea que las ondas no son cantidades físicas reales que se pueden medir, sino símbolos matemáticos muy convenientes que permiten calcular el comportamiento de las partículas. La naturaleza compleja de la solución de la ecuación de onda impide identificar la onda misma con una cantidad física real. Una analogía muy conocida sirve para ilustrar este punto. Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una viga bajo tensiones son de la misma forma que las que controlan las propiedades de las películas elásticas o burbujas. Aunque las propiedades de una viga dada pueden definirse imaginando una burbuja adecuada, nadie va a pensar que los ingenieros construyen puentes con tales burbujas. Del mismo modo, en mecánica ondulatoria se usa el hecho de que las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la onda tienen la misma forma que las que controlan las partículas, pero no implica que estas sean ondas.
La solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para una función de energía potencial V dada, que describe la situación física, consiste en hallar las soluciones Y(x, t) de la ecuación diferencial 2.4.
Para obtener una solución precisa de un problema físico es necesario obtener no solamente la función matemática ψ(x), sino también instrucciones concisas sobre cómo expresar ψ. O sea que se requiere cierto método para transformar las soluciones, que son cantidades imaginarias, en propiedades observables. Esto se hace con un postulado y no con una identidad que se pueda probar formalmente. Este postulado se debe a Born y dice que la probabilidad de hallar la partícula en el intervalo entre x y (x + dx) es:
P(x, t) = ψ(x, t) ψ*(x, t)dx,
donde ψ(x, t) es la solución de la ecuación de onda de la partícula y ψ* es la conjugada compleja de esta función de onda.
Ahora, la presencia de la partícula en una región es una propiedad mensurable, de modo que la probabilidad P debe ser real, y lo es porque si cualquier complejo q = a + bi, se multiplica por su conjugado q* = a – bi, se obtiene un real:
qq* = (a + bi) (a – bi) = a2 – b2 = /q/2.
Por esta razón, la interpretación que se acepta universalmente es que /ψ/2dx es la probabilidad de observar el electrón en el intervalo comprendido entre x y (x + dx), de manera que /ψ/2 es una densidad de probabilidad.
Como toda función de probabilidad debe estar normalizada,
ya que la probabilidad de encontrar la partícula en algún punto del eje x debe ser igual a la unidad.
La normalización de la solución de la ecuación de Schrödinger se hace multiplicando por un factor apropiado, que es una constante y que se determina usando la ecuación 2.6. Pero si /ψ/2 es una probabilidad, ¿cuál es el significado de la función ψ misma? La respuesta es que ψ no tiene interpretación directa, es decir, no tiene significado físico, aunque /ψ/2 sí lo tiene.
En resumen, la función de onda ψ es finita, continua invariable y se hace cero cuando la partícula no se puede hallar. Por ejemplo, si se considera el movimiento de un electrón de un átomo, ψ se hace cero a una distancia infinitamente lejana del núcleo. Además, es una onda cuyo cuadrado describe la probabilidad de los diversos resultados posibles de una observación, pero no dice nada sobre la trayectoria de la partícula, sus coordenadas o su velocidad en un momento dado; tales conceptos no tienen significado en mecánica cuántica. Sin embargo, los conceptos de masa, energía y momento angular de la partícula conservan su importancia.
2.2. Soluciones de la ecuación de Schrödinger
La función de onda ψ es tridimensional. Además, las soluciones de esta ecuación para los problemas de teoría atómica y estructura molecular son muy complicadas, y no se intentarán de ninguna manera en este texto; sin embargo, para estudiar el átomo y, por tanto, la materia, es necesario analizar la solución de la ecuación de Schrödinger para algunos campos simples.
Se ha discutido el significado de ψ. Ahora póngase atención a los factores que en la ecuación de Schrödinger multiplican o que “operan sobre” ψ, de manera que se ve que ψ no solo contiene información probabilística, sino también sobre las propiedades físicas. Si la ecuación 2.5 se escribe en la forma:
y se compara con la ecuación clásica:
E = EK + V,
resulta que el operador diferencial
se debe identificar de algún modo con la energía cinética EK.
Por otro lado, la energía potencial es un operador multiplicativo, es decir, una función que multiplica a ψ para transformarla en una nueva función V(x) ψ(x). Entonces, para el movimiento en una dimensión, hay un operador T, relacionado con la energía cinética, que es:
El operador de la energía total se llama operador de Hamilton (H), y se define por:
Así, la solución de la ecuación de Schrödinger,
Hψ = Eψ,
es el problema de encontrar los valores propios del operador H. Esto se hará para algunos casos sencillos en las secciones que siguen.
2.2.1. La partícula libre
La función de onda más simple es la correspondiente a una partícula libre, es decir, una partícula que se mueve en ausencia de todo potencial. Con V = 0, la ecuación de Schrödinger se reduce a:
o también a:
donde
La ecuación 2.8 es la ecuación de Helmholtz para el oscilador armónico y es exactamente igual a la ecuación 2.2 del desplazamiento de una cuerda estirada. La solución general es:
ψ = Acoskx + Bsenkx,
donde A y B pueden ser números complejos.
Si se hace B = Ai, se obtiene una solución especial:
ψ = Acoskx + Aisenkx = A ikx.
Como o
ψ = Aipx/h
o
Así, en la componente x, el operador momento es:
De las ecuaciones 2.7 y 2.10 se ve que
T = p2/2m.
Además,