Figura 2.6 Louis de Broglie. Formuló la mecánica ondulatoria de la materia
Entre 1925 y 1926, el alemán Werner Heisenberg (1901-1976) y el austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) propusieron independientemente dos variantes de la nueva mecánica, las cuales los llevó al mismo resultado. Sin embargo, el método de Schrödinger se encontró más conveniente para los cálculos y de ahí la popularidad de la ecuación de este autor.
Otros científicos, como Max Born y Paul Dirac, dieron forma final a esta nueva mecánica cuántica.
La aplicación de estos conceptos a la estructura de los metales dio nacimiento a la moderna metalurgia física, la verdadera ciencia de los metales, y de esa manera un arte empírico y milenario se convirtió en ciencia con sólidas bases teóricas.
En resumen, la idea de Planck es condensada en la ecuación de Einstein:
ΔE = E2 – E1 = hν,
donde E: energía de un electrón, hν: cuanto de energía, h: constante de Planck (6,63 × 10-34 J.s) y ν: frecuencia.
Es decir, un electrón sólo puede tener ciertas energías y no otras, entre los valores permitidos. Si un electrón con energía E1 pasa a otro estado con energía E2, debe dar un salto cuántico ΔE absorbiendo o emitiendo energía radiante con una frecuencia ν.
Además, un fotón, cuando se comporta como partícula, tendrá un momento p dado por:
p = mc,
donde c: velocidad del fotón y m: masa equivalente que resulta de la energía cinética del fotón.
En reposo, el fotón tiene una masa cero y su energía total es:
E = mc2.
Como la energía total del fotón también está dada por E = hν, el momento del fotón es:
p = mc = (E/c2)c = E/c = hν/c.
Pero se sabe que la longitud de onda es λ = c/ν, o sea que:
p = h/λ. (2.1)
De Broglie afirmaba que la ecuación 2.1 se puede aplicar no solo a los fotones de la radiación luminosa, sino también a las partículas materiales (electrones). Esto fue confirmado por Clinton Joseph Davisson y Lester Germer (véase figura 2.7), en el sentido de que el movimiento de los electrones está descrito por las ecuaciones del movimiento ondulatorio, aunque el electrón mismo no es una onda. Esto también se ha confirmado para neutrones, átomos y moléculas.
Figura 2.7 Clinton Joseph Davisson (izquierda) y Lester Germer (derecha). Físicos estadounidenses que confirmaron la teoría ondulatoria para el electrón
Fuente: Wikipedia (s. f. 6).
En la mecánica, la ecuación de una onda estacionaria (que no cambia con el tiempo) se representa por una ecuación del tipo
y = A sen(kx ± ωt),
donde y = desplazamiento, A = amplitud, x = distancia viajada, t = tiempo, k = número de onda y ω = frecuencia.
Si, admitiendo su regularidad sinusoidal, se tienen dos ondas de igual magnitud y frecuencia que viajan en direcciones opuestas a la misma velocidad, representadas por:
y1 = Asen (kx – ωt),
y2 = Asen (kx + ωt);
la onda resultante es
y = y1 + y2
y = Asen (kx – ωt) + Asen (kx + ωt)
y = 2Asenkx cosωt,
cuya forma general es la que se muestra en la figura 2.8.
Figura 2.8 La onda estacionaria y = 2Asenkx cosωt
Los puntos donde ν = 0 se llaman nodos. En los otros puntos, el desplazamiento está dado por el factor cosωt. El factor espacial 2Asenkx indica el perfil de la onda en un momento dado y el factor tiempo determina la escala. La periodicidad espacial es
λ = 2π/k,
o sea que la posición de los nodos está dada por:
x = 0, λ/2, λ, ... (n – 1)λ/2, donde n = 1, 2, 3...
En una dimensión, la ecuación diferencial de esta onda es:
y como k = 2π/λ,
Schrödinger se valió de la relación 2.2 para escribir la ecuación de las ondas correspondientes al electrón; en vez del desplazamiento y usó la función de onda ψ.
Pero
λ = h/p = h/mc,
o sea que:
Además, la energía cinética es
(1/2)mv2 = EK ,
así que:
y también la energía cinética EK es igual a la energía total E menos la potencial V:
Ek = E – V,
así que:
La ecuación 2.3 es la ecuación no relativista de las ondas para el electrón y es la famosa ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La ecuación dependiente del tiempo es la fundamental en mecánica cuántica, pero en este contexto basta con la ecuación 2.3 o su forma tridimensional:
Antes de dar una interpretación física de la función de onda, se debe recordar el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio afirma que la precisión con la que pueden realizarse mediciones físicas posee una limitación inherente a la misma, es decir, existe una inevitable falta de certeza en cuanto al resultado de las observaciones. Esto no se refiere al límite de error de las mediciones, que de alguna manera se puede acercar a cero. La incertidumbre a que alude el principio es de una naturaleza mucho más profunda y es inherente a las leyes fundamentales de la naturaleza. Supóngase que se determina la coordenada x de una partícula con una precisión Δx y simultáneamente se mide la componente en x del momento, con precisión Δpx. El principio de incertidumbre establece que en una medición simultánea, los errores mínimos de las mediciones están dados por:
Δpx Δx = h/2π = ħ. (2.5)
El principio no impone ninguna condición a la precisión con que se puede medir la posición Δx (olvidando las consideraciones prácticas). La restricción consiste en que, cuanto más precisamente se trata de determinar la posición, tanto mayor es la incertidumbre que se introduce en el conocimiento simultáneo del momento, y viceversa.
Por supuesto, el principio de incertidumbre impone una duda significativa únicamente en el dominio submicroscópico ħ (llamada hache barra).
Por