Si se grafican las intensidades σx y τxy perpendicularmente al plano de la sección, tanto P como Vy son equivalentes al volumen encerrado por la superficie de tensiones y la cara de la sección.
• Compatibilidad geométrica: ésta indica que el conjunto de desplazamientos debe satisfacer la compatibilidad en los vínculos externos y la continuidad interna de la estructura en estudio.
• Relaciones tensión-deformación: aquí es donde se manifiesta el material de que está hecha la estructura. En el método de la resistencia de materiales estas relaciones se expresan a través de la curva tensión-deformación, la cual se obtiene usualmente para solicitación de tracción o compresión puras. En general se expresa como:
Los materiales estructurales tienen un rango en que la tensión σ es proporcional a la deformación unitaria ε para valores moderados de la tensión. Dentro de este rango se puede escribir σ = Eε, llamada usualmente Ley de Hooke, en que E es una propiedad del material denominada módulo de elasticidad. Esta relación es la base de cualquier teoría elástica. Si se desea incluir el comportamiento inelástico, es necesario considerar toda la curva, más allá de su límite elástico, como se verá más adelante.
A continuación se resolverán dos ejemplos sencillos para hacer hincapié en la metodología de solución, destacando que problemas de aparente naturaleza muy distinta, se resuelven utilizando apropiadamente las mismas herramientas básicas antes descritas.
Ejemplo 1.4
Determinar los esfuerzos en los alambres BD y CE de la estructura estáticamente indeterminada de la figura. Desarrollar una solución aproximada suponiendo que la viga AC es infinitamente rígida. Los alambres BD y CE tienen sección de área A y módulo de elasticidad E.
Figura E1.4
Solución: Equilibrio. Considérese el diagrama de cuerpo libre de la barra AC. Sean TBD y TCE las fuerzas en los alambres, que se supone están traccionados:
Es claro que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para resolver el problema pues hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones.
Compatibilidad geométrica. Debido a que la barra AC es rígida:
lo anterior implica dos nuevas incógnitas y una sola ecuación adicional.
Relaciones tensión-deformación. Aplicando la ley de Hooke a ambos alambres:
Después de esta etapa se completa el número de ecuaciones necesarias (5) para igual número de incógnitas. Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen:
Ejemplo 1.5
Determinar las tensiones debidas a flexión en una sección con un plano de simetría, cargada en dicho plano.
Solución: Considérese una viga cargada en la forma indicada en la Fig. E1.5.a y una sección en el tramo central que está sometida a un momento flector constante (Fig. E1.5.b). Las seis ecuaciones de equilibrio son:
Figura E1.5
que se satisface automáticamente por la simetría respecto al plano XY, ya que el momento de σx dA en z+, es igual al momento de σx dA en z-.
Las ecuaciones relevantes son la i y la vi que corresponden a las condiciones que debe satisfacer la distribución de tensiones σx, buscada. Notar que este problema es esencialmente hiperestático, ya que se podría pensar que tiene infinitas incógnitas: el valor de σx en los infinitos puntos de la sección.
Geometría. La condición de que las secciones planas permanecen planas en la flexión permite reducir la hiperestaticidad del problema a un grado. En efecto, considerando que dos secciones vecinas sólo giran relativamente en Δθ (Fig. E1.5.c), se puede determinar la deformación unitaria de una fibra cualquiera de la sección (IJ) a distancia “y” del eje neutro:
es decir, la única incógnita del problema es la deformación representada por ρ.
Relaciones tensión - deformación. En el rango de comportamiento elástico del material se cumple:
que bajo el supuesto σy =σz = 0 implica:
luego:
que reemplazado en la Ec.i da:
de donde se concluye que la superficie neutra pasa por el centro de gravedad de la sección. A su vez, reemplazando σx en la Ec. vi se tiene:
Definiendo:
propiedad de la sección llamada momento de inercia, y sustituyendo en la expresión anterior para M, se obtiene:
y finalmente:
Similarmente al Ejemplo 1.5 se puede derivar la distribución de tensiones para el caso de flexión en vigas asimétricas sometidas a un momento en el plano YZ
Figura 1.11 Flexión en vigas con sección asimétrica