Diseño estructural. Rafael Riddell C.

≤ 0, y la probabilidad de falla queda igualmente expresada por las Ecs. 1-12 y 1-19.

      De las Ecs. 1-25 y 1-23 se tiene que la media de Z es:

      y su varianza:

      Luego, la probabilidad de falla según la Ec. 1-19 es:

      Si Ω_R y Ω_s son pequeños (≤ 0,3), la raíz del numerador en la ecuación anterior puede aproximarse a 1, y el denominador a (Ω_R² + Ω_S²)^1/2, de modo que:

      Al cuociente μ_R/ μ_S se le denomina usualmente factor de seguridad central, mientras que Ω = (Ω_R² + Ω_S²)^1/2 corresponde a la incertidumbre total subyacente al diseño.

      Para tener una idea del significado de los valores de las probabilidades de falla, puede considerarse que p_F> 10^-3 revela una situación de alto riesgo, posiblemente inaceptable, mientras que p_F < 10^-5 refleja una condición de bajo riesgo. Cabe notar también que para valores pequeños de la probabilidad de falla, ésta es muy sensible a la distribución considerada para la variable Z, lo que puede exigir utilizar la correcta FDP de Z para una determinación realista del riesgo. Sin embargo, aun cuando se use una distribución aproximada, las probabilidades de falla calculadas son aún útiles como medidas relativas de la seguridad. Valores grandes de PF, en cambio, no varían sustancialmente al cambiar la FDP de Z; sin embargo, en este caso se requiere una acción inmediata para reducir el riesgo. Para poner los valores de las probabilidades de falla en la perspectiva de otras situaciones de riesgo, la Tabla 1.2 muestra las tasas anuales de muerte en varias actividades.

       Ejemplo 1.1

      Sea una columna sometida a una carga axial de 40 toneladas correspondiente al peso propio de la estructura que soporta, con coeficiente de variación estimado en un 10 %, más una sobrecarga de 60 toneladas con coeficiente de variación estimado en un 25%. La columna se ha diseñado de manera que su resistencia última de compresión es el triple de la carga de servicio total. Asumiendo que el coeficiente de variación de la resistencia es de un 15 %, y que todas las variables son gaussianas y estadísticamente independientes, calcular la probabilidad de colapso de la columna utilizando la formulación conocida por margen de seguridad.

      Solución: La carga total S = PP + SC es también gaussiana porque PP y SC lo son, por lo tanto:

      La resistencia última nominal es μ_R = 300 toneladas con σ_R = (0,15)(300) = 45 toneladas como desviación estándar. La probabilidad de falla según la Ec. 1-21 es:

       Ejemplo 1.2

      Una viga de acero simplemente apoyada de 9 metros de luz (perfil IN 35x53) soporta una carga uniformemente distribuida de intensidad media = 2 ton/m y coeficiente de variación Ω_q = 15 %. El material de la viga tiene una tensión de fluencia media _y = 4000 kg/cm² y COV Ωσ_y = 20 %. Suponiendo que q y σ_y tienen distribución log-normal, determinar:

      a) La probabilidad de falla, definida la falla como el evento de alcanzar o exceder la resistencia límite de fluencia.

      b) La tensión admisible de flexión o el factor de seguridad central requerido para limitar a 1/1000 la probabilidad de falla.

      Solución: a) El valor medio del momento flector máximo es:

      Como q es log-normal, M también lo es. La tensión máxima de flexión en una sección simétrica está dada por:

      en que W es el módulo resistente de la sección, variable supuesta determinística. Por ser M log-normal, σ es log-normal. El perfil dado tiene W = 883 cm³, luego:

      y:

      Definiendo la función rendimiento conforme a la formulación “factor de seguridad”:

      que tiene distribución normal (ver Ec. 1-25); la probabilidad buscada es:

      Utilizando las Ecs. 1-27 y 1-28 se obtienen la media μ_z y la desviación standard σz:

      Entonces, según la Ec. 1-29, y de la Tabla P.1 se obtiene:

      b) Se desea p_F = 0,001, o sea, usando ahora la Ec. 1-30 se obtiene:

      El cuociente del primer miembro de la ecuación anterior corresponde al factor de seguridad central, luego en este caso:

      y la tensión admisible correspondiente a este factor de seguridad es:

1.1.3 Criterios de Diseño para Seguridad

      Dado el estado del arte actual, las normas de diseño están planteadas en términos determinísticos. Independientemente de que ciertos modelos probabilísticos han sido utilizados para definir la intensidad de las cargas, el enfoque es deterministico porque no se requiere hacer un análisis de confiabilidad estructural, es decir, evaluar la seguridad de un diseño (elemento o estructura completa) en términos de probabilidades. La situación actual resulta en diseños que no son consistentes con un nivel uniforme de seguridad, en el sentido que ciertos elementos pueden resultar diseñados en condiciones considerablemente más conservadoras, o inversamente más inseguras,