FIGURA 10. INTARSIA DE UCCELLO
Fuente: Hart (1996a).
Piero della Francesca. Desarrolló nuevos métodos para hacer estudios de perspectiva, esto en el siglo XV, y redescubrió gradualmente los sólidos arquimédicos, los cuales eran desconocidos en su tiempo, y estableció relaciones entre estos y los sólidos platónicos (figura 11).
FIGURA 11. ICOSAEDRO INSCRITO EN CUBO
Fuente: Eternauta (2004).
Leonardo da Vinci (1452-1519). También desarrolló trabajos sobre los poliedros, los cuales aplicó en sus diversos modelos de artefactos y en estudios en torno a las artes plásticas; acerca de ello se hace alusión en el documento De divina proportione, escrito por Luca Pacioli a principios del siglo XVI, en el que trató temas de geometría e incluyó, originalmente, ilustraciones del propio Da Vinci (figura 12). El mismo Luca Pacioli redescubrió el rombicuboctaedro (figura 13), desconocido en su tiempo, y lo incluyó también en De devina proportione.
FIGURA 12. POLIEDROS DE CARAS VACÍAS Y LLENAS
Fuente: Rocha (2005).
FIGURA 13. ROMBICUBOCTAEDRO DE CARAS VACÍAS
Fuente: Kairnz (2010).
Daniel Barbaro. En su libro La práctica della perspectiva incluye el primer dibujo publicado de un icosidodecaedro truncado y de un rombicosidodecaedro (figura 14); esto lo desarrolló durante el siglo XVI.
FIGURA 14. ICOSIDODECAEDRO TRUNCADO Y ROMBICOSIDODECAEDRO
Fuente: Hart (1998a).
Alberto Durero. En su libro Manual del pintor, escrito a principios del siglo XVI, presentó un estudio sobre los poliedros platónicos y arquimédicos, y algunos de su propia invención, así como la influencia que estos tienen en las representaciones bidimensionales y los utiliza para estudios en torno a la perspectiva y la comprensión espacial o tridimensional sobre planos bidimensionales (figura 15).
FIGURA 15. DESARROLLO POLIÉDRICO
Fuente: Bortolossi (2009).
Wentzel Jamnitzer. Se anticipó cinco años a Kepler, mostrando un tricontaedro rómbico y un dodecaedro estelado, los cuales incluyó en sus publicaciones y los utilizó en sus joyas y troqueles de sellos oficiales en Alemania y Austria en el siglo XVI (figura 16).
FIGURA 16. TRICONTAEDRO RÓMBICO Y DOCECAEDRO ESTELADO
Fuente: Ibáñez (2008).
Johannes Kepler. Matemático y astrónomo, sistematizó y extendió lo que se conocía en su tiempo sobre poliedros. A principios del siglo XVII hizo una aproximación matemática a la construcción de poliedros; definió sus clases o familias de estos; descubrió otros tantos que incluyó en cada una de ellas y así las delimitó, concluyendo que no se podían construir más poliedros en cada familia de acuerdo con las características de estos, es decir, completó las familias de poliedros. También descubrió los infinitos antiprismas (figura 17).
FIGURA 17. DIBUJOS DE KEPLER
Fuente: reinterpretada por Lina Pérez a partir de Hart (1998b).
2.2. Conceptos de geometría espacial
Icosaedro, cubo truncado y rombidodecadodecaedro (figura 18).
FIGURA 18. ICOSAEDRO, CUBO TRUNCADO Y ROMBIDODECADODECAEDRO
Fuente: Maeder (1995b).
2.2.1. Poliedros uniformes
Los poliedros uniformes son aquellos cuyas caras son polígonos regulares. Si sus caras son necesariamente iguales y sus vértices idénticos, llamamos a estos poliedros regulares; si sus caras no son necesariamente idénticas y sus vértices sí lo son, entonces tenemos poliedros semirregulares. Los semirregulares pueden ser convexos o no convexos; en este último caso, como ciertas caras intersectan a otras, solo hay algunas partes visibles. Estos poliedros pueden ser organizados de la siguiente manera, en la cual se incluye un número infinito de familias de prismas y antiprismas, y 75 poliedros uniformes (figura 19).
·Poliedros convexos uniformes:
–Sólidos platónicos: cinco regulares.
–Sólidos arquimédicos: trece semirregulares.
–Prismas y antiprismas convexos: dos familias infinitas, semirregulares.
·Poliedros no convexos uniformes:
–Poliedros Kepler-Poinsot: cuatro regulares.
–Poliedros uniformes no convexos: 53 semirregulares.
–Prismas y antiprismas no convexos y prismas cruzados: tres familias infinitas semirregulares.
FIGURA 19. OCHENTA POLIEDROS UNIFORMES
Fuente: Maeder (1995b).
Para entender estas categorías se explicarán algunos conceptos y la manera de nombrar los poliedros. Muchos de los nombres de los poliedros son construidos con prefijos griegos como tetra, octa, hexa, ente otros, para designar el número de lados, y la raíz edro que significa caras; así, un dodecaedro es un sólido de 12 caras. El término regular significa que sus caras y las figuras de los vértices son polígonos regulares: el dodecaedro regular es el mismo dodecaedro pentagonal y se distingue de todos los demás dodecaedros. El término conta significa a un grupo de diez; así, el hexacontaedro es un poliedro de sesenta caras.
Los modificadores numéricos son términos, incluidos casi siempre al final del nombre de los poliedros, que describen la forma de las caras, lo que permite distinguir entonces los poliedros con el mismo número de caras: por ejemplo, un dodecaedro rómbico (12 caras rómbicas) del dodecaedro pentagonal (12 pentágonos). Un icositetraedro pentagonal tendrá 24 caras (20 + 4) de 5 lados. Los modificadores numéricos no solamente pueden referirse a la forma de las caras por ejemplo hexacontraedro rómbico (figura 20), dodecaedro pentagonal (figura 21), entre otros; también se refieren al polígono de base con el cual se construyen los prismas y antiprismas convexos; por ejemplo, el prisma hexagonal.
Por otro lado, el término trapezoidal se refiere por lo general a un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro, con dos lados adyacentes de igual longitud.
FIGURA 20. HEXACONTRAEDRO RÓMBICO
Fuente: Strzelecki (2000).
FIGURA 21. DODECAEDRO RÓMBICO, DODECAEDRO PENTAGONAL E ICOSAEDRO PENTAGONAL
Fuente: Strzelecki (2000).