Donde las componentes de rigidez de cada una de las láminas i, lógicamente se obtienen de la matriz de rigidez de tensión plana para materiales transversalmente isótropos
La cual debe ser pre multiplicado por la matriz traspuesta de transformación, y pos multiplicado por la matriz de transformación de acuerdo al ángulo de la lámina (βi, definido como el ángulo entre el eje x del modelo y la dirección de la fibra en la lámina i)
con
Donde c = cos(βi) y s = sen(βi), siendo βi el ángulo entre la dirección x y la dirección de la fibra de la lámina considerada.
1.3.7 Modelo de Schickhofer para reducción de rigidez de corte en el plano
Tal como se comentó anteriormente, podría pensarse que, dado que la rigidez a cortante longitudinal Gxy es transversalmente isótropa (=Gyx), en cada una de las láminas del CLT, la rigidez a cortante en el plano de la placa sería simplemente
Sin embargo, los tablones de madera que conforman cada lámina no siempre están encolados en los bordes o pueden tener grietas de secado, así que por seguridad siempre se asume que no hay continuidad en cada lámina, por lo que la rigidez al corte es significativamente menor a la que se obtendría si es que toda la madera mostrase una continuidad perfecta.
La deducción de la rigidez “efectiva” a corte en el plano de la placa del CLT, suele atribuirse al modelo presentado por Schickhofer (2009). El objetivo de este modelo consiste en determinar un factor de reducción de la rigidez por corte en la membrana, kV, que pueda emular con mayor precisión la rigidez del CLT tal que
El modelo de Schickhofer, consiste en realizar una homogeneización del comportamiento a corte del CLT de modo que el Gefectivo, y por tanto el factor kV, pueda ser determinado. Para ello, primeramente, se discretiza un tablero de CLT solicitado al corte a una serie de volumenes de elemento representativo (representative volume element, RVE) los cuales, de forma individual, pueden representar adecuadamente la rigidez de cualquier tablero de CLT independientemente de sus dimensiones, ver Figura 6.1.5.7.1. La característica fundamental del RVE es que tiene un ancho a, que corresponde con el ancho de los tablones o separación entre ranuras (w1).
Posteriormente, y solo de forma imaginaria, se asume que el tablero de CLT no está compuesto por 3, 5 o 7 sino por un número infinito de láminas, lo que permite transformar el RVE a un sub-volumen de elemento representativo (representative volume sub-element RVSE), ver Figura 1.3.7.1. Esta segunda transformación se hace con el fin de independizar el problema del número de láminas y reducirlo a estudiar tan sólo la mitad del espesor de 2 láminas contiguas, ya que, si el panel fuese infinito en cuanto a número de láminas y estuviese sometido al corte en el plano, la distribución de tensiones sería simétrica en cada RVSE. Posteriormente se realiza un ajuste para el número real de láminas.
Una vez definido el RVSE, la transmisión real del esfuerzo de corte puede entenderse como la composición aditiva de dos mecanismos. Imaginemos por un lado que todos los RVSE en los que puede ser discretizado y transformado un tablero de CLT están perfectamente encolados en los bordes en cada una de las 2 láminas, y no existiese ninguna otra discontinuidad como grietas de secado, y etc. Bajo esta situación, la transmisión de corte se debería únicamente al corte puro en cada una de las láminas, lo cual es referido como el mecanismo de transmisión I. Es decir, que, si un tablero de CLT lo discretizásemos y transformásemos a una serie de RVSE, en cada uno de los RVSE observaríamos la deformación que se ilustra en la Figura 1.3.7.1 izquierda.
FIGURA 1.3.7.1 Ilustración de la solicitación de corte de un tablero específico de CLT, y proceso de discretización del RVE y transformación a RVSE como unidad geométrica fundamental para la teoría de Schickhofer (basado en Schickhofer et al. 2009).
Imaginemos ahora en nuestra discretización del tablero en RVSE, que las tablas no están encoladas en los bordes. Bajo estas circunstancias, no existe transmisión de corte longitudinal en los bordes en cada una de las láminas, por lo que al solicitar a corte una de las 2 láminas que conforman un RVSE, la transmisión del corte únicamente sería efectiva por la torsión con la otra lámina, lo que es referido como mecanismo de transmisión II. Así, la deformación torsional que se produciría se ilustra en la Figura 1.3.7.2 derecha.
FIGURA 1.3.7.2 Descomposición del comportamiento a corte del RVSE como mecanismos de corte puro, mecanismo I, y torsión pura, mecanismo II (basado en Schickhofer et al. 2009).
En la realidad, lo que ocurre no es ni el mecanismo I ni el mecanismo II. Lo que ocurre realmente, es que los tablones de una lámina son únicamente efectivos al par de corte transversal a los tablones, pero no al par longitudinal de corte, y el equilibrio interno únicamente es proporcionado por los momentos torsores entre láminas. El mérito de la teoría de Schickhofer fue en gran medida, descubrir que el mecanismo real de corte del CLT puede verse como la suma aditiva de los mecanismos I y II, ya que bajo esas circunstancias los tableros únicamente transmiten el corte según par transversal, ver Figura 1.3.7.3.
FIGURA 1.3.7.3 Deducción de la transmisión real de corte del CLT consistente en transmisión de par transversal entre láminas como composición aditiva de los mecanismos I y II (basado en Schickhofer et al. 2009).
Así, el mecanismo I puede verse como la dupla de fuerzas transversales a los tablones en cada una de las láminas, mientras que el mecanismo II representa el momento torsor que se produce en cada una de las láminas como consecuencia de la dupla de cortantes transversales, ver Figura 1.3.7.4. Si es que se producen los 2 mecanismos de forma conjunta al solicitar una placa al corte cabe preguntarse cuál es el mecanismo más limitante. De nuevo, esta pregunta puede contestarse con la relación t/a tal como se muestra en la Figura 1.3.7.5, pues la solicitación a la torsión de la madera está íntimamente ligada a esta relación. Básicamente, para relaciones t/a por debajo de 0,15 la solicitación de torsión es siempre inferior al valor de resistencia de la madera a la torsión en la zona próxima al adhesivo entre láminas (aprox. 2,5 MPa en tensiones últimas), así es que la rotura siempre sucede por el mecanismo I, de corte. Sin embargo, para relaciones mayores (tablones más esbeltos), la solicitación puede rebasar la resistencia a la torsión (representada como una línea horizontal en la Figura 1.3.7.5) así es que en esas situaciones la rotura se producirá por torsión según el mecanismo II.
FIGURA 1.3.7.4 Esfuerzos internos producidos en los mecanismos I y II en cada una de las tablas del RSVE (basado en Schickhofer et al. 2009).
FIGURA 1.3.7.5 Típica determinación del mecanismo de fallo al corte de acuerdo a la relación t/a de las láminas de CLT. El fallo a torsión según el mecanismo II, únicamente se produce para valores superiores