Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

ограниченна;

      3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и

, тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n × b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ≠ 0, b_n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

      Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ≤ (≥) b_n, то

(данное утверждение неверно для строгих неравенств).

      Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ≤ b_n ≤ c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу:

.

      Следствия:

      1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное),

;

      2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке,

;

      3) если все члены сходящейся последовательности {a_n} a_n ≤ (і) В, то

, где В – некоторое число.

      Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

      12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

      Числовым рядом называется выражение

a_i = а₁ + а₂ +…+ а_n +…, где a_i (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.

      Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число S_n = а₁ + а₂ +…+ а_n =

a_i.

      Из частичных сумм можно образовать последовательность S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃ и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается

. Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

      Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

. Пусть даны два ряда

a_n и

b_n. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд

(a_n + b_n), при умножении получается ряд

a_n на число с будет ряд

ca_n (с – вещественное или комплексное число).

      Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы Скачать книгу