Свойства определителя:
1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;
2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;
3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.
Минором Mik элемента aik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.
Алгебраическим дополнением Aik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k, A = (–1)i+kMik.
Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.
Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А–1, которая удовлетворяет условиям АА–1 = А–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.
Теорема. Матрица
где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik невырожденной матрицы А, является обратной для А.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности
Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а1, а2, аn – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа аn называются элементами или членами последовательности.
Числовая последовательность:
{an},an = f(n),
где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.
Cпособы задания последовательностей:
1) аналитический (с помощью формулы n–члена);
2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);
3) словесный.
Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно следующие последовательности: {xn + yn}, {xn – yn}, {xn × yn}, {xn / yn}, в случае частного yn ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.
Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: an+1 > an (an+1 <