Рис. 4
Точки F и F1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF1 – фокусным расстоянием, обозначается FF1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k2 = 1 – ε2.
Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F1M – FM| = 2a. Точки F, F1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.
Каноническое уравнение гиперболы: х2 / а2 + у2 / (а2 – с2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b2 = c2 – a2).
Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх.
Рис. 5
5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость
Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.
Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.
При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х1, у1, z1) до плоскости:
Пусть имеются две плоскости А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:
Условие равенства двух плоскостей: А1 / А2 = В1 / В2 = С1 / С2 = D1 / D2. Условие параллельности плоскостей: А1 / А2 = В1 / В2 = С1 / С2. Условие перпендикулярности плоскостей: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х1, у1, z1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x1) + В(у – y1) + С(z – z1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (х1, у1, z1), М2 (х2, у2, z2), М3 (х3, у3, z3):
Уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0:
Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (х1, у1, z1)