Пусть имеются прямая (x – x0) / m = (y – y0) / p = (z – z0) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:
Если прямая задана параметрически x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1, у1, z1) и М2 (х2, у2, z2):(х – х1) / (х2 – х1) = (у – у1) / (у2 – у1) = (z – z1) / (z2 – z1). Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно прямой (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, имеет вид: m(x – x0) + p(y – y0) + q(z – z0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х0) / А = (у – у0) / В = (z – z0) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М0(х0, у0, z0) и (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, не проходящую через М0:
Уравнение плоскости, проходящей через М0 (х0, у0, z0) и параллельной двум прямым:
Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – у1) / p1 = (z – z1) / q1 и параллельной (x – x2) / m2 = (y – y2) / р2 = (z – z2) / q2 имеет вид:
Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – y1) / p1 = (z – z1) / q1 перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;
7. Матрицы и действия над ними
Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:
или А = (aij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа aij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.
Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и aij = bij. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Единичной матрицей называется квадратная матрица:
Матрицей, транспонированной к матрице А размерности m х n называется матрица Ат размерности n х m, полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.
Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.
Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности cij = aij ± bij. При сложении справедливы:
А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.
Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рaij.
Справедливы свойства:
α(βA)