Abb. 1-21 Auftragung der Kompressionsfaktors von vier Gasen unter Verwendung von reduzierten Variablen. Die Kurven sind jeweils mit der reduzierten Temperatur Tr = T/ Tkrit bezeichnet. Die Verwendung reduzierter Variablen bringt die Daten unterschiedlicher Gase aufgemeinsame Kurven.
Interaktive Übung: Gibt es Bedingungen, unter denen der Kompressionsfaktor Z eines Van-der-Waals-Gases ein Minimum durchläuft? Falls ja, wie hängen dann der Ort und der Wert von Z am Minimum von den Koeffizienten a und b ab?
Zur Veranschaulichung des Prinzips verwenden wir die Van-der-Waals-Gleichung. Zunächst drücken wir Gl. (1-21b) durch reduzierte Variablen aus:
Anschließend drücken wir die kritischen Größen durch die Koeffizienten a und b aus (siehe Gl. (1-22)),
und stellen etwas um:
(1-25)
Diese Gleichung hat die gleiche äußere Form wie die Van-der-Waals-Gleichung, von der wir ausgegangen sind; die für jedes Gas verschiedenen Koeffizienten a und b treten jedoch nicht mehr auf. Trägt man die Isothermen jetzt unter Verwendung von reduzierten Variablen auf (wie in Abb. 1-20 schon geschehen, ohne dass wir diesem Punkt Beachtung geschenkt haben), erhält man für alle Gase die gleiche Kurve. Dies ist genau die Aussage des Prinzips der übereinstimmenden Zustände; es steht also nicht im Widerspruch zur Van-der-Waals-Gleichung.
Diesem scheinbaren Erfolg sollte man allerdings nicht zu viel Bedeutung beimessen: Auch andere Zustandsgleichungen entsprechen diesem Prinzip (Tabelle 1-7). Man brauchtnämlich nur zwei Parameter mitähnlicherFunktionwie a und b,um jede mögliche Gleichung in eine reduzierte Form überführen zu können. Der Befund, dass reale Gase dem Prinzip näherungsweise gehorchen, ermöglicht lediglich folgende Aussage: Die Wirkungen der anziehenden und der abstoßenden Kräfte kann man jeweils durch einen einzigen Parameter beschreiben. Daher liegtdie Bedeutung des Prinzips nicht so sehr in seiner theoretischen Interpretation als vielmehr in der Möglichkeit, die Eigenschaften einer ganzen Reihe von Gasen in einem Diagramm gemeinsam wiederzugeben (siehe Abb. 1-21 im Vergleich zu Abb. 1-14).
Die wichtigsten Gleichungen auf einen Blick
| Stichwort | Gleichung | Anmerkung |
| Zustandsgleichung | p = f (n, V, T) | |
| Zustandsgleichung idealer Gase | pV = nRT | Gilt für reale Gase im Grenzfall p → 0 |
| Beziehung zwischen Temperaturskalen | T/K = θ/°C + 273.15 | 273.15 K entspricht exakt 0°C |
| Partialdruck | pJ = xJ p | Gilt für alle Gase |
| Virialgleichung |
|
B und C sind temperaturabhängig |
| Van-der-Waals-Gleichung | p = nRT/(V – nb) – a(n/V)2 | a beschreibt Anziehungen, b Abstoßungen |
Diskussionsfragen
1 1.1 Wie geht die Zustandsgleichung des idealen Gases aus der Kombination des Gesetzes von Boyle, des Gesetzes von Charlesund desAvogadro-Prinzips hervor?
2 1.2 Erklären Sie den Begriff „Partialdruck“. Warum ist das Gesetz von Dalton ein Grenzgesetz?
3 1.3 Erläutern Sie die Druck- und Temperaturabhängigkeit des Kompressionsfaktors. Welche Informationen über zwischenmolekulare Wechselwirkungen gibt er?
4 1.4 Welche Bedeutung besitzen die kritischen Konstanten?
5 1.5 Erläutern Sie die Formulierung der Van-der-Waals-Gleichung. Schlagen Sie eine Begründung für eine der anderen in Tabelle 1-7 aufgeführten Zustandsgleichungen vor.
6 1.6 Wie trägt die Van-der-Waals-Gleichung dem kritischen Verhalten Rechnung?
Leichte Aufgaben
1 A1.1a Können 131 g gasförmiges Xenon in einem Gefäß mit dem Volumen 1.0L bei 25°C einen Druck von 20 atm ausüben, wenn man ideales Verhalten des Gases annimmt? Wenn nicht, wie groß wäre der Druck? (b) Welchen Druck übt das Gas bei Annahme eines Van-der-Waals-Verhaltens aus?
2 A1.1b Können 25 g gasförmiges Argon in einem Gefäß des Volumens 1.5 L bei 30°C einen Druck von 2.0bar ausüben, wenn man ideales Verhalten des Gases annimmt? Wenn nicht, wie groß wäre der Druck? (b) Welchen Druck übt das Gas bei Annahme eines Van-der-Waals-Verhal-tens aus?
3 A1.2a Durch isotherme Kompression wird das Volumen eines idealen Gases um 2.20 L reduziert. Enddruck und -volumen des Gases sind 5.04 bar bzw. 4.65 L. Man berechne den Anfangsdruck des Gases (a) in bar, (b) in atm.
4 A1.2b Durch isotherme Kompression wird das Volumen eines idealen Gases um 1.80L reduziert. Enddruck und -volumen des Gases sind 1.97 bar bzw. 2.14L. Man berechne den Anfangsdruck des Gases (a) in bar, (b) in Torr.
5 A1.3a Ein Autoreifen wurde an einem Wintertag bei –5°C auf einen Druck von 3 bar (1 bar = 100 kPa) aufgepumpt. Welchen Druck misst man an einem folgenden Sommertag bei 35°C, wenn der Reifen dicht ist und das Reifenvolumen konstant? Mit welchen Schwierigkeiten muss man in der Praxis rechnen?
6 A1.3b Für eine Probe Wasserstoffgas wurde bei 23 °C ein Druck von 125kPa gemessen. Wie hoch ist der Druck des Gases bei 11 °C?
7 A1.4a 255 mg Neon haben bei 122 K ein Volumen von 3.00 L. Man berechne den Druck des Gases unter Verwendung der Zustandsgleichung des idealen Gases.
8 A1.4b Ein Hauseigentümer benötigt pro Jahr 4.00 × 103 m3 Erdgas zur Heizung seines Hauses. Angenommen, das Erdgas wäre reines Methan, CH4, und sein Verhalten wäre unter den gegebenen Bedingungen (1.00atm