При решении задач расчет средней величины начинается с составления исходного отношения – логической словесной формулы средней. Она составляется на основе теоретического и логического анализа. Иногда среднюю арифметическую нельзя использовать. В этом случае в зависимости от ситуации применяется одна из трех форм средней.
Средняя гармоническая простая строится по формуле:
где n — число единиц совокупности или число вариантов;
х — значения варьирующегося признака.
Средняя гармоническая простая используется для несгруппированных данных.
Средняя гармоническая взвешенная строится по формуле:
где х — значения варьирующего признака;
m — веса;
n — число единиц совокупности. Среднюю гармоническую взвешенную используют для сгруппированных данных, т. е. когда каждое значение х повторяется различное число раз.
Средняя квадратическая простая строится по формуле:
где n — число единиц совокупности или число вариантов; х — значения варьирующегося признака.
Средняя квадратическая простая используется для несгруппированных данных.
Средняя квадратическая взвешенная строится по формуле:
где m – веса;
х – значения варьирующего признака.
Среднюю квадратическую взвешенную используют для сгруппированных данных.
Данные формулы используются редко, в специальных расчетах.
Средняя геометрическая простая строится по формуле:
где n – число единиц совокупности или число вариантов;
х – значения варьирующегося признака. Средняя геометрическая простая используется для несгруппированных данных.
Средняя геометрическая взвешенная строится по формуле:
где х – значения варьирующего признака;
m – веса;
n – число единиц совокупности или число вариантов. Различные формулы средних величин можно объединить в одной формуле – формуле степенной средней:
где р – порядок средней.
9. Медиана и мода. Асимметрия распределения
Медианой Ме называется варианта, которая делит ранжированный вариационный ряд на две равные части, из которых значение одной половины меньше медианы, а значения другой – больше медианы.
Медиана для несгруппированных данных при нечетном числе вариантов (n = 2k+ 1), определяется как Me = xk + 1, а при четном числе вариантов (n = 2k), медиана определяется по формуле:
Медиана для сгруппированных данных рассчитывается по формуле:
где х0 – это нижняя граница медианного интервала;
/– величина медианного интервала;
em / 2 – полусумма всех частот;
SMe – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;
mМе – частота медианного интервала.
Медиана рассчитывают наряду со средней величиной