«Архимед был математиком», «Евклид был математиком», «Птолемей был математиком» – все эти суждения обладают общей формой. Они отличаются только в том, что в качестве субъектов в них выступают различные термины. Теперь рассмотрим выражение «х является математиком». Оно не является суждением, поскольку не может быть истинным или ложным. Однако из него можно получить суждения, подставляя различные значения на место переменной х. Все суждения, полученные таким путем, будут обладать общей формой. Выражение, содержащее одну или более переменную и выражающее суждение, если переменным придаются значения, называется пропозициональной функцией.
Мы можем варьировать не только субъект, но и другие термины такого суждения. Изменив отношение в суждении «Архимед был убит римским солдатом», мы получаем суждение «Архимед был восхвален римским солдатом», «Архимед был двоюродным братом римского солдата» и т. д. Если мы выразим отношение переменной R, то получим пропозициональную функцию: «Архимед R римский солдат». (Данную запись следует читать как «Архимед находится в отношении R к римскому солдату».) Варьируя в подобной манере термины и отношения в суждении и выражая их с помощью переменных, мы можем проявить логическую форму или структуру в ее точном виде.
Когда мы утверждаем суждение «все математики – квалифицированные логики», мы хотим сказать, что если любой индивид является математиком, то он также является квалифицированным логиком. Данное отношение можно выразить через импликацию между суждениями, полученными с помощью пропозициональных функций, следующим образом:
[Для всех значений х (х является математиком) ⊃ (х является квалифицированным логиком)],
где знак «⊃», как обычно, означает отношение «если… то» между суждениями, полученными из пропозициональных функций путем придания значений для х.
Суждения данного типа, утверждающие включение (или исключение) одного класса в другой (или из другого), некоторым образом схожи со сложными суждениями. Поэтому их не следует путать с суждениями о принадлежности классу, поскольку, как мы видели, отношение принадлежности классу не является транзитивным, тогда как отношение включения одного класса в другой является транзитивным. Таким образом, если «все математики являются квалифицированными логиками» и «все квалифицированные логики являются университетскими