Базы данных: конспект лекций. Коллектив авторов

отношение попадают только те кортежи, которые присутствуют в обоих отношениях исходных. А значит, мощность нового отношения никак не может превышать мощности того отношения-операнда, число кортежей которого наименьшее из двух. А равной этой минимальной мощности мощность результата быть может, так как всегда допускается случай, когда все кортежи отношения с меньшей мощностью совпадают с какими-то кортежами второго отношения-операнда.

      В случае операции разности все достаточно тривиально. Действительно, если из первого отношения-операнда «вычесть» все кортежи, присутствующие также во втором отношении, то их количество (а следовательно, мощность) уменьшится. В том случае, если ни один кортеж первого отношения не совпадет ни с одним кортежем отношения второго, т. е. «вычитать» будет нечего, мощность его не уменьшится.

      Интересно, что в случае применения операции декартового произведения мощность результирующего отношения в точности равна произведению мощностей двух отношений-операндов. Понятно, что это происходит потому, что в результат записываются все возможные пары кортежей исходных отношений, а ничего не исключается.

      И, наконец, операцией естественного соединения получается отношение, мощность которого больше или равна произведения мощностей двух исходных отношений. Опять-таки это происходит потому, что отношения-операнды «склеиваются» по совпадающим кортежам, а несовпадающие – из результата исключаются вовсе.

      2. Свойство идемпотентности:

      1) для операции объединения: r ∪ r = r;

      2) для операции пересечения: r ∩ r = r;

      3) для операции разности: r \ r ≠ r;

      4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);

      5) для операции естественного соединения: r × r = r.

      Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.

      3. Свойство коммутативности:

      1) для операции объединения:

      r₁ ∪ r₂ = r₂ ∪ r₁;

      2) для операции пересечения:

      r ∩ r = r ∩ r;

      3) для операции разности:

      r₁ \ r₂ ≠ r₂ \ r₁;

      4) для операции декартового произведения:

      r₁ × r₂ = r₂ × r₁;

      5) для операции естественного соединения:

      r₁ × r₂ = r₂ × r₁.

      Свойство коммутативности выполняется для всех операций, кроме операции разности. Это легко понять, ведь от перестановки отношений местами их состав (кортежи) не меняется. А при применении операции разности важно, какое из отношений-операндов стоит на первом месте, потому что от этого зависит, кортежи какого отношения примутся за эталонные, т. е. с какими кортежами будут сравниваться другие кортежи на предмет исключения.

      4. Свойство ассоциативности:

      1) для операции объединения:

      (r₁