Операция пересечения двух отношений будет выглядеть следующим образом:
r4(S) = r1(S) ∩ r2(S) = {t(S) | t ∈ r1 & t ∈ r2};
И снова рассмотрим действие этой операции над отношениями, представленными в виде таблиц:
r1(S):
r2(S):
Согласно определению операции пересечением отношений r1(S) и r2(S) будет новое отношение r4(S), табличное представление которого будет выглядеть следующим образом:
r4(S) = r1(S) ∩ r2(S):
Действительно, если посмотреть на кортежи первого и второго исходного отношений, общий среди них только один: {b, 2}. Он и стал единственным кортежем нового отношения r4(S).
3. Операция разности двух отношений определяется аналогичным с предыдущими операциями образом. Отношения-операнды, так же, как и в предыдущих операциях, должны иметь одинаковые схемы отношения, тогда в результирующее отношение войдут все те кортежи первого отношения, которых нет во втором, т. е.:
r5(S) = r1(S) \ r2(S) = {t(S) | t ∈ r1 & t ∉ r2};
Уже хорошо знакомые нам отношения r1(S) и r2(S), в табличном представлении выглядящие следующим образом:
r1(S):
r2(S):
Мы рассмотрим как операнды в операции пересечения двух отношений. Тогда, следуя данному определению, результирующее отношение r5(S) будет выглядеть следующим образом:
r5(S) = r1(S) \ r2(S):
Рассмотренные бинарные операции являются базовыми, на них основываются другие операции, более сложные.
2. Операции декартового произведения и естественного соединения
Операция декартового произведения и операция естественного соединения являются бинарными операциями типа произведения и основываются на операции объединения двух отношений, которую мы рассматривали ранее.
Хотя действие операции декартова произведения многим может показаться знакомым, начнем мы все-таки с операции естественного произведения, так как она является более общим случаем, нежели первая операция.
Итак, рассмотрим операцию естественного соединения. Следует сразу заметить, что операндами этого действия могут являться отношения с разными схемами в отличие от трех бинарных операций объединения, пересечения и переименования.
Если рассмотреть два отношения с различными схемами отношений r1(S1) и r2(S2), то их естественным соединением будет новое отношение r3(S3), которое будет состоять только из тех кортежей операндов, которые совпадают на пересечении схем отношений. Соответственно, схема нового отношения будет больше любой из схем отношений исходных, так как является их соединением, «склеиванием». Кстати, кортежи, одинаковые в двух отношениях-операндах, по которым и происходит это «склеивание», называются соединимыми.
Запишем определение операции естественного