1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а21 и а22. В результате найдем
По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:
Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов γ, σ, η и с.
Коэффициент γ характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то γ должна быть малой величиной.
Напомним, что σ = β/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем σ малой величиной.
Так как η = s β/p, т. е. в s раз больше, чем σ, то η полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).
Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D0 (D0 > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).
В результате получаем следующее распределение знаков:
B > 0; ∆ < 0; D > 0.
Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.
Таким образом, решение (28) является неустойчивым.
2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y1ст и Y2ст подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:
a11 = – γ; a12 = c;
a21 = µY2ст – η = 0 – η = – η;
a22 = µY1ст + σ = 0 + σ = σ.
По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:
B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)2 – 4ηc.
Выше мы уже установили, что γ и σ меньше, чем η и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ∆ и D: ∆ > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.
Ситуация 1: σ > γ. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (γ уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид
B > 0; ∆ < 0; D > 0.
Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y1 и Y2 (числа клиентов и прибыли).
Ситуация 2: σ < γ. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (γ увеличивается). Распределение знаков имеет вид
B < 0; ∆ < 0; D > 0.
Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y1 и прибыли Y2.
На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.
В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y1 и Y2) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент,