Зададим возмущение y для Yст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде
y = c exp (ωt).
Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:
a11 – ω = 0,
Следовательно, ω = a11 и
y = c exp (a11 t). (24)
где a11 вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:
где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,
a11 > 0.
Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Yст является неустойчивым.
Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.
2.2.2. Модель частной страховой фирмы
Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y1. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y2.
2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.
1. Прирост клиентов dY1/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y2 (средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D0 и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y2D0Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y1.
2. Прирост прибыли dY2/dt пропорционален числу клиентов Y1, а также той части прибыли Y2, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y1Y2). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).
Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности α, γ, µ и β, придем к следующей системе двух уравнений
или
где c = αD0Q.
Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y2, в роли N выступает Y1):
Подставим это выражение в (26)
где введены обозначения σ = β/p; η = βs/p.
Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).
2.2.2.2.