x = A sin (ωt + φ0).
Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:
где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.
Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы
Глава 2
Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем
К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.
Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.
Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.
2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу
(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y1 сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y2. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?
Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).
2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)3). В нашем случае речь идет о Y1 и Y2:
Сформулируем первую главную пропорцию4:
скорость роста числа сотрудников (dY1/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.
При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y2, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y1). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему