Математики и до Пуанкаре (особенно тосканский геометр и политик Энрико Бетти) боролись с вопросом, как задать форму нескольким отверстиям, однако именно Пуанкаре первым понял, что одни отверстия могут быть комбинациями других. Но даже он не думал об отверстиях так, как нынешние ученые; для этого пришлось ждать работу немецкого математика Эмми Нётер в середине 1920-х. Нётер ввела в топологию понятие группы гомологий, и с тех пор мы используем именно такое понимание отверстий.
Нётер выражала свои идеи на языке «цепных комплексов» и «гомоморфизмов», а не штанов и молочных коктейлей, но я буду придерживаться наших нынешних понятий, чтобы избежать болезненного стилистического перехода. Новаторство Нётер заключалось в том[86], что неправильно думать о дырах как о дискретных объектах, скорее это похоже на направления в пространстве.
Сколько направлений вы можете проложить на карте? В каком-то смысле вы можете двигаться в бесконечном множестве направлений: на север, юг, восток, запад; на юго-запад или северо-северо-восток; держать курс точно на 43,28 градуса к востоку от южного направления. Однако суть в том, что при всем богатстве выбора есть только два основных направления, в которых вы можете путешествовать: вы доберетесь куда угодно, комбинируя всего два направления – на север и на восток (если будете считать 10-мильное путешествие на запад отрицательным 10-мильным путешествием на восток).
Однако нет смысла спрашивать, какие два направления будут основными, из которых следуют все остальные. Любая пара ничем не хуже другой; можно выбрать север и восток, юг и запад, северо-запад и северо-северо-восток. Единственное, что вы не можете сделать, так это выбрать два совпадающих или противоположных направления, поскольку тогда вам придется ограничиться движением по одной линии.
Верх и низ соломинки – полные противоположности, север и юг. Здесь можно обнаружить только одно измерение. Талия и штанины, напротив, заполняют два измерения, например:
Проехав в одном из этих направлений, затем во втором, затем в третьем, вы вернетесь в исходную точку.
Три направления аннулируют друг друга, давая в сочетании ноль.
«Сегодня это считается самоочевидным[87], – писали Павел Александров и Хайнц Хопф в своем фундаментальном труде по топологии 1935 года, – однако восемь лет назад это было не так. Потребовалась энергия и индивидуальность Эмми Нётер, чтобы сделать это знание обычным для топологов. Благодаря ей оно стало играть современную роль в задачах и методах