Diesen Ausdruck setzen wir in die Beziehung für den Druck eines Van-der-Waals-Gases ein (Gl. (2.30b)):
Den zweiten Term aus der ersten Zeile identifizieren wir als die Größe ΔUm. Nach dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt ΔU= q + w, und der erste Term in obigem Ausdruck muss demnach −q entsprechen. Daher ist
Den Wert des Van-der-Waals-Koeffizienten b haben wir aus Tab. 1.6 im Anhang des Lehrbuchs entnommen. Nach dem Ersten Hauptsatz entspricht die verrichtete Arbeit w = −q + ΔUm, und wir erhalten
L2.4.3a Das Volumen einer Flüssigkeit kann durch die Beziehung
beschrieben werden, wobei im vorliegenden Fall a = 0,75, b = 3,9 × 10−4 K−1 und c = 1,48 X10−6 K−2 ist. Der Koeffizient der thermischen Ausdehnung α ist in Gl. (2.40) definiert als α. = (1/V) (∂V/ ∂T)p. Die Ableitung nach T lautet dann
Damit folgt
Die Lösung dieses Ausdrucks für T = 320 K ist
L2.4.4a Die isotherme Kompressibilität ist in Gl. (2.41) definiert, κT = −(1/V)( ∂V/ ∂p)T. Bei konstanter Temperatur gilt dV/V = −κT dp. In dieser Aufgabe wird nach der Änderung der Dichte gefragt, daher müssen wir zunächst das Volumen V über die Dichte ρ (rho) ausdrücken. Es gilt V = m/ρ, wobei m die Masse ist, und somit gilt dV = (−m/ρ2)dρ. Wir schreiben
Daraus folgt
Diese Beziehung gibt den Zusammenhang zwischen einer Änderung des Drucks und der Änderung der Dichte an. Für kleine Änderungen ist es zulässig, die Differenziale dρ und dρ näherungsweise durch die Differenzen δρ und δp zu ersetzen. Der gesuchte Druck ist demnach
L2.4.5a Die Differenz zwischen den molaren Wärmekapazitäten ist durch Gl. (2.45) gegeben, Cp,m − Cv,m = α2TVm/κT. Das molare Volumen Vm lässt sich über die Dichte ρ (rho) und die molare Masse M ausdrücken, Vm = M/ρ. Die Werte für α, κ und ρ von Benzol finden Sie im Anhang des Lehrbuchs, und wir erhalten
Die Einheiten sind K−1Pam3mol−1 = K−1(Nm−2)m3mol−1 = K−1 N m mol−1 = JK−1 mol−1.
Schwerere Aufgaben
S2.4.1‡ Der Koeffizient der thermischen Ausdehnung ist in Gl. (2.40) definiert als α = (1/V)( ∂V/∂T)p. Für hinreichend kleine Änderungen des Volumens und der Temperatur können wir die beiden partiellen Differenziale näherungsweise durch die Differenzen δV und δT ersetzen,
Mit der Näherung δV≈ Aδr aus dem Hinweis in der Aufgabenstellung ergibt sich
Aus Tab. 2.8 in Abschn. 2.4 des Lehrbuchs entnehmen wir für Wasser den Wert α = 2,1 × 10−4K−1. Für eine Temperaturerhöhung von 1,0 °C erhalten wir
Da Δr α ΔT ist, ergibt sich für eine Temperaturerhöhung um 2,0 °C ein Anstieg des Meeresspiegels um Δr = 1,6 m, und für eine Temperaturerhöhung um 3,5 °C erhalten wir Δr = 2,8 m.
Beachten Sie, dass wir bei dieser Berechnung angenommen haben, dass die Gesamtfläche der Weltmeere bei einem Anstieg des Meeresspiegels konstant bleibt, und dass die Ozeane aus reinem Wasser bestehen, d. h. α(H2O) = α(Ozean).
S2.4.3
1 (a) Wenn V = V(p, T) ist, giltWenn p = p(V, T) ist, gilt
2 (b) Wenn wir den Ausdruck für dV aus Teilaufgabe (a) durch V dividieren, erhalten wirDie isotherme Kompressibilität ist in Gl. (2.41) definiert, κT = −(1/V)( ∂V/∂p)T. Der Koeffizient der thermischen Ausdehnung ist in Gl. (2.40) definiert als α = (1/V)(∂V/∂T)p. Mit diesen beiden Beziehungen ergibt sich, wenn wir außerdem (1 /V) dV in d ln V umformulieren,Wenn wir den Ausdruck für dp aus Teilaufgabe (a) durch p dividieren, erhalten wirSomit giltHinweis: Um von Zeile 1 nach Zeile 2 zu gelangen, wurden die Identität (1/x) dx = d ln x sowie die Euler’sche Kettenregel verwendet. Um von Zeile 3 nach Zeile 4 zu gelangen, wurden Kehrwerte gebildet. Um von Zeile 4 nach Zeile 5 zu gelangen, wurde die Definition von κT verwendet. Um von Zeile 5 nach Zeile 6 zu gelangen, wurde die Definition von α verwendet.
S2.4.5 Die isotherme Kompressibilität ist in Gl. (2.41) definiert, κT= −(1/V)(∂V/∂p)T. Unter Verwendung der Kehrwert-Identität können wir auch schreiben:
Für den Druck eines Van-der-Waals-Gases gilt p = nRT/(V − nb) − n2a/V2, und somit ist
Es folgt
und somit
Der thermische Expansionskoeffizient ist in Gl. (2.40) definiert, α T = (1 /V)(∂V/∂T)p. Unter Verwendung der Kehrwert-Identität können wir auch