gilt. Der Term unter der Quadratwurzel hängt folgendermaßen mit der Beschleunigung des freien Falls, g, zusammen: Eine Masse m an der Erdoberfläche erfährt aufgrund der Gravitation eine Kraft, die GMm/R2 entspricht. (Beachten Sie, dass diese Kraft proportional zu R−2 ist.) Diese Kraft beschleunigt die Masse in Richtung Erdoberfläche, und wir schreiben dafür (wie gewohnt) F = mg. Wenn wir die beiden Ausdrücke für die Kraft gleichsetzen, erhalten wir
Wenn wir nun den Ausdruck für GM/R in die Beziehung für ve einsetzen, erhalten wir
Wir sehen, dass die Fluchtgeschwindigkeit ve sowohl eine Funktion des Erdradius fi als auch der Beschleunigung des freien Falls g ist.
1 (a) Der Radius der Erde ist 6,37 × 106 m und g = 9,81 m s−2, daher ist die Fluchtgeschwindigkeit
2 (b) Für den Mars wird in der Aufgabenstellung keine Angabe zur Beschleunigung des freien Falls gemacht; allerdings folgt aus Gl. (G1.4), dass g = GM/R2 gilt, und somitDie Beschleunigung des freien Falls auf dem Mars können wir daher aus den übrigen Angaben berechnen:Für Fluchtgeschwindigkeit auf dem Mars erhalten wir daherDie mittlere Geschwindigkeit von Molekülen ist durch Gl. (1.17), , gegeben. Diesen Ausdruck können wir geeignet umstellen, um die Temperatur zu erhalten, bei der die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle gerade der Fluchtgeschwindigkeit ve entspricht:Für H2-Moleküle auf der Erde liefert diese GleichungIn der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse für alle drei in der Aufgabenstellung genannten Gase auf beiden Planeten aufgelistet.Planetve/ms−1T/104K(H2)T/104 K (He)T /104K(O2)Erde1,12 × 1041,192,3618,9Mars5,04 × 1030,2420,4813,84Der Anteil der Moleküle, die sich mit größeren Geschwindigkeiten als der Fluchtgeschwindigkeit bewegen, lässt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung durch Integration zwischen ve und ∞ ermitteln:Dieses Integral lässt sich am einfachsten unter Zuhilfenahme mathematischer Software lösen. In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse für die Anteile F für die drei genannten Gasmoleküle aufgelistet; ein Eintrag von null bedeutet, dass der Anteil innerhalb der Genauigkeit dieser automatisierten Berechnung gleich null ist.PlanetT/KF (H2)F (He)F (O2)Erde240000—15001,49 × 10−49,52 × 10−90Mars2401,12 × 10−55,09 × 10−110—15000,0254,31 × 10−24,61 × 10−14Diese Ergebnisse zeigen, dass leichtere Moleküle grundsätzlich eine größere Wahrscheinlichkeit besitzen, die Atmosphäre zu verlassen (denn sie bewegen sich im Mittel schneller); außerdem erkennen wir, dass eine Temperaturerhöhung diese Wahrscheinlichkeit erhöht (denn dadurch erhöht sich auch die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle). Aufgrund der geringeren Fluchtgeschwindigkeit ist es für leichte Moleküle einfacher, die Atmosphäre des Planeten Mars zu verlassen als die Erdatmosphäre, und für schwerere Moleküle ist es nahezu unmöglich, den Gravitationsbereich der Erde zu verlassen.
S1.2.9 Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung für dreidimensionale Systeme ist durch Gl. (1.12) gegeben,
wobei M die Molmasse ist. Der Anteil der Moleküle, die sich mit Geschwindigkeiten zwischen v1 und v2 bewegen, lässt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung durch Integration zwischen diesen beiden Geschwindigkeiten ermitteln (der Einsatz mathematischer Software ist dabei hilfreich):
Bei 300 K finden wir für Sauerstoff mit M(O2) = 2 × 16,00 g mol−1 einen Anteil von 0,0722, und bei 1000 K ist dieser Anteil 0,0134.
S1.2.11 Die Stoßzahl z ist in Gl. (1.20b) mit
Zusammengefasst ergibt sich für die Stoßzahl
wobei wir die Beziehung R = NAk verwendet haben. Einsetzen der gegebenen Werte ergibt für die Stoßzahl der CH4-Moleküle
1.3 Reale Gase
Diskussionsfragen
D1.3.1 Wir betrachten drei unterschiedliche Temperaturbereiche:
1 T < TB : Bei sehr niedrigen Temperaturen zeigen alle Gase einen Kompressionsfaktor Z ≈ 1. Bei hohen Drücken ist Z > 1; das bedeutet, dass ihr molares Volumen größer ist als das molare Volumen eines idealen Gases; unter diesen Bedingungen sind abstoßende Wechselwirkungen dominant. Bei moderaten Drücken ist für die meisten Gase Z < 1; unter diesen Bedingungen sind anziehende Kräfte dominant, und das molare Volumen nimmt einen geringeren Wert an, als wir für ein ideales Gas erwarten würden.
2 T ≈ TB: Wenn der Druck gering ist, finden wir Z ≈ 1; bei moderaten Drücken liegt der Wert etwas unterhalb von 1, und bei hohen Drücken ist er deutlich größer als 1. Dies lässt darauf schließen, dass bei niedrigen bis moderaten Drücken ein Gleichgewicht zwischen anziehenden und abstoßenden Kräften existiert. Die abstoßenden Wechselwirkungen dominieren jedoch, sobald der Druck erhöht wird, denn die Gasmoleküle werden auf engem Raum sehr dicht zusammen gepresst.
3 T > TB: Unter diesen Bedingungen finden wir bei allen Drücken Z > 1, denn die Stoßfrequenz der Moleküle nimmt mit der Temperatur zu.
D1.3.3 Die Van-der-Waals-Gleichung (Gl. (1.27a)) „korrigiert“ die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)), indem sowohl anziehende als auch abstoßende Wechselwirkungen zwischen den Molekülen eines realen Gases berücksichtigt werden; in Abschn. 1.3.2 des Lehrbuchs finden Sie eine ausführlichere Erklärung.
Die Berthelot-Gleichung berücksichtigt das Eigenvolumen der Moleküle in ähnlicher Weise wie die Van-der-Waals-Gleichung; allerdings ist hier der Term, der die anziehenden Wechselwirkungen berücksichtigt, so modifiziert, dass der Einfluss der Temperatur ebenfalls berücksichtigt wird. Experimentell findet man, dass der Van-der-Waals-Parameter a mit steigender Temperatur kleiner wird. Auf der Grundlage theoretischer Überlegungen (siehe Fokus 14 des Lehrbuchs) würden wir ebenfalls erwarten, dass anziehende Wechselwirkungen zwischen den Molekülen mit steigender Temperatur schwächer werden. Diese Variation der anziehenden Wechselwirkungen mit der Temperatur wird in der Berthelot-Gleichung berücksichtigt, indem der Van-der-Waals-Parameter a durch a/T ersetzt wird.
Leichte Aufgaben
L1.3.1a Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung in Abhängigkeit vom Volumen ist in Gl. (1.27a) gegeben, p = nRT/(V − b) − an2/V2. Die Van-der-Waals-Koeffizienten a und b für Ethan sind in Tab. 1.6 im Anhang des Lehrbuchs mit a = 5,507 atm dm6 mol−2 und b = 6,51 × 10−2 dm3 mol−1 angegeben.
1 (i) Bei T = 273,15 K, V = 22,414 dm3, n = 1,0 mol ist der Druck
2 (ii) Bei T = 1000 K, V = 100 cm3 = 0,100 dm3, n = 1,0 mol ist der Druck