Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie. James J. Keeler

alt="image"/>, gegeben ist. Aus Tab. 1.2 im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir für H₂-Moleküle einen Stoßquerschnitt von σ = 0,27 nm². Nun können wir die Stoßzahl berechnen:

      wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² und 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² verwendet haben. Beachten Sie die Umrechnung des Stoßquerschnitts σ von nm² in die Einheit m²:1 nm² = (1 × 10⁻⁹)² m² = 1 × 10⁻¹⁸ m².

      L1.2.7a Die Stoßzahl z ist in Gl. (1.20b) mit definiert, wobei die mittlere Relativge-schwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse durch Gl. (1.19a), , und die mittlere Ge-schwindigkeit wiederum durch Gl. (1.17), , gegeben ist. Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = KT/σp.

      1 (i) Für die mittlere Geschwindigkeit der N2-Moleküle finden wir

      2 (ii) Den Stoßquerschnitt σ berechnen wir aus dem gegebenen Stoßdurchmesser d gemäß σ = πd2 = π × (395 × 10−9 m)2 = 4,90… × 10−19 m2. Mit diesem Wert ergibt sich für die mittlere freie WeglängeDabei haben wir 1 J = 1 kg m2 s−2 und 1 Pa = 1 kg m−1 s−2 verwendet.

      3 (iii) Für die Stoßzahl z erhalten wirAlternativ könnten wir zur Berechnung der Stoßzahl auch Gl. (1.21), , verwenden, umgestellt nach :

      L1.2.8a Für das Volumen V und den Radius r eines kugelförmigen Behälters gilt

      Wenn wir das Volumen über den Durchmesser d = 2r ausdrücken, ergibt sich , und nach Umstellen können wir damit den Durchmesser des Kolbens berechnen:

      Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = kT/σp. Für den Druck p, bei welchem der Durchmesser d mit der mittleren freien Weglänge λ vergleichbar wird, gilt

      Beachten Sie die Umrechnung der Einheit des Durchmessers von der Einheit Zentimeter (cm) in Meter (m).

      L1.2.9a Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = kT/σp. Mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Werten erhalten wir

      Schwerere Aufgaben

      S1.2.1 Die beschriebene Versuchsanordnung besteht aus einer Reihe von Scheiben, die auf einer gemeinsamen Achse montiert sind. In jeder der Scheiben befindet sich ein enger radialer Schlitz, der bei zwei aufeinander folgenden Scheiben um einen bestimmten Winkel versetzt ist. Diese Apparatur wird nun mit konstanter Geschwindigkeit in Rotation versetzt.

      Wir stellen uns nun vor, dass sich ein Molekül mit einer bestimmten Geschwindigkeit entlang der Rotationsachse des Apparates (d. h. in x-Richtung) bewegt, sodass es den Schlitz in der ersten Scheibe passieren kann. Bis das Molekül die zweite Scheibe erreicht, wird sich deren Schlitz weiter gedreht haben, und das Molekül kann nur dann passieren, wenn dessen Geschwindigkeit so gestaltet ist, dass es die zweite Scheibe genau in dem Moment erreicht, wenn deren Schlitz entlang seines Pfades liegt. Auf diese Weise wird sichergestellt, dass nur Moleküle, die sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit in x-Richtung bewegen (innerhalb einer gewissen Toleranz, die mit der Breite des Schlitzes zusammenhängt), die zweite Scheibe passieren können. Die gewünschte Geschwindigkeit lässt sich über die Rotationsgeschwindigkeit der Scheiben einstellen, sowie durch die Wahl des Winkels, mit der die Schlitze aufeinander folgender Scheiben gegeneinander versetzt sind.

      Die Winkelgeschwindigkeit der Scheiben ist 2πv rad s⁻¹, sodass sich die Scheiben innerhalb einer Zeit t um einen Winkel von θ = 2πvt drehen. Wenn wir den Abstand zwischen den einzelnen Scheiben mit d bezeichnen, wird ein Molekül mit der gerichteten Geschwindigkeit vx eine Zeit t = d/vx benötigen, um von einer Scheibe zur nächsten zu gelangen. Wenn der zweite Schlitz in einem Winkel α relativ zum ersten Schlitz liegt, wird das Molekül nur dann den zweiten Schlitz passieren können, wenn

      gilt. Wenn wir den Winkel α in Grad ausdrücken, mit α = π(α°/180°), wird daraus

      Mit den angegebenen Werten erhalten wir für die gerichtete Geschwindigkeit der Moleküle

      Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung für ein eindimensionales System ist durch Gl. (1.11) gegeben:

      Wir nehmen an, dass die Angaben zur Intensität des Molekularstrahls zu dieser Verteilungsfunktion f(vx) proportional sind, I ∝ f(vx) = Af(vx). Da wir die Proportionalitätskonstante A nicht kennen und die Variation der Intensität mit vx untersucht werden soll, ist es an dieser Stelle hilfreich zu logarithmieren; wir erhalten

Bei einer Auftragung von ln I gegen sollte sich eine Gerade mit der Steigung −m/2kT ergeben; die entsprechende Wertetabelle sowie die grafische Auftragung (Abb. 1.4) sind nachfolgend gezeigt.

v/Hz	Vx/m s^−1		I (40 K)	ln I (40 K)	I (100 K)	ln I (100 K)
20	36	0,13	0,846	−0,167	0,592	−0,524
40	72	0,52	0,513	−0,667	0,485	−0,724
80	144	2,07	0,069