L1.1.9a Wir nehmen an, dass die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)) gilt, pV = nRT. Die Aufgabe besteht nun darin, die gegebene Dichte mit der Molmasse der Verbindung in Beziehung zu setzen.
Zunächst drücken wir die Stoffmenge n über die Masse m geteilt durch die Molmasse M aus, pV = (m/M)RT; nach Division durch V auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir p = (m/V)(RT /M). Die Größe (m/V) entspricht der Dichte ρ, also gilt p = ρRT/M, was sich umstellen lässt zu M = ρRT/p; dies ist die gesuchte Beziehung zwischen der Molmasse M und der Dichte ρ.
Einsetzen der Werte ergibt
Dabei haben wir 1 J = 1 kg m2 s−2 und 1 Pa = 1 kg m−1 s−2 verwendet.
L1.1.10a Das Gesetz von Charles, Gl. (1.3b), besagt: Bei konstanter Stoffmenge n und konstantem Druck p gilt V ∝ T, und bei konstanter Stoffmenge n und konstantem Volumen V gilt p ∝ T. Für eine bestimmte vorgegebene Stoffmenge ist die Dichte ρ proportional zu 1/V, und es folgt 1/ρ ∝ T. Am absoluten Nullpunkt der Temperatur geht V → 0, daher geht ρ → ∞ und somit 1/ρ → 0.
Die Aufgabe ist am einfachsten zu lösen, wenn man eine Probe mit einer geeigneten Masse wählt, z. B. 1,000 g, und dann das Volumen bei jeder Temperatur berechnet. Anschließend trägt man das Volumen gegen die Temperatur (in °C) auf und extrapoliert auf V = 0. Es ergibt sich folgende Tabelle:
| θ/°C | ρ/(g dm−3) | (1/ρ)/(g−1dm3) |
|---|---|---|
| −85 | 1,877 | 0,5328 |
| 0 | 1,294 | 0,7728 |
| 100 | 0,946 | 1,0571 |
In Abb. 1.1 ist die grafische Auftragung von 1/ρ als Funktion von θ gezeigt. Die Extrapolation ergibt für den absoluten Nullpunkt einen Wert nahe −273 °C. Die Gleichung der Ausgleichsgeraden ist
Den Achsenabschnitt bei 1/ρ = 0 finden wir durch Lösen der Gleichung
Daraus folgt für den absoluten Nullpunkt θ = −273 °C.
Alternativ könnte man eine Gleichung für V als lineare Funktion von θ verwenden (die in Abb. 1.1 eingezeichnete Ausgleichsgerade, die nichts anderes ist als das Gesetz von Charles),
Am absoluten Nullpunkt ist V = 0 und
L1.1.11a Die gesamte Stoffmenge ist n = n(H2) + n(N2) = 2,0 mol + 1,0 mol = 3,0 mol; nach Gl. (1.7) gilt für den Molenbruch xJ = nJ/n.
1 (i) Die Molenbrüche sind
2 (ii) Wir nehmen an, dass die Zustandsgleichung idealer Gase (Gl. 1.4) für jede der Einzelkomponenten sowie für die Mischung als Ganzes gilt. Dann ist pJ = nJRT/V und somit
3 (iii) Der Gesamtdruck istoder 3,00 atm.
Beachten Sie, dass 1 mol bei Standardbedingungen (STP) ein Volumen von 22,4 dm3 einnimmt, wie in der obigen Gleichung angegeben. Da insgesamt 3,0 mol vorliegen, muss der Gesamtdruck daher 3,0 atm sein.
Zusatzfrage: Gilt das Dalton’sche Gesetz auch für eine Mischung von Gasen, die der Van-der-Waals-Gleichung gehorchen?
Schwerere Aufgaben
S1.1.1
1 (a) Der Ausdruck ρgh liefert den Druck in der Apparatur in der Einheit Pascal (Pa), wenn die verwendeten Größen in SI-Einheiten angegeben werden. Daher ist es hilfreich, die Drücke in die EinheitPa umzurechnen. Die angegebene Dichte von Quecksilber entsprichtDaraus folgt, mit 760 Torr = 1 atm = 1,013 25 × 105 Pa,
2 (b) Wir bringen die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)) in die Form R = pV/nT. Alle Größen auf der rechten Seite dieser Gleichung sind messbar:
Der Gasdruck ergibt sich aus der Kraft pro Flächeneinheit, die eine Wassersäule der Höhe 206,402 cm aufgrund ihres Gewichts auf das Gas ausübt. Das Manometer soll überall dieselbe Querschnittsfläche A haben. Die Kraft ist F = mg; dabei ist m die Masse der Wassersäule und g die Beschleunigung des freien Falls. Für die Masse der Wassersäule gilt m = ρV = ρhA mit h = 206,402 cm und der Querschnittsfläche A. Es folgt
Damit erhalten wir
Der Literaturwert ist R = 8,3145 J K−1 mol−1. Eigentlich müsste man die Gasvolumina auf den Druck p = 0 extrapolieren, um den bestmöglichen Wert von R zu erhalten. Bei den gegebenen Bedingungen verhält sich Helium jedoch bereits nahezu wie ein ideales Gas, sodass der für R ermittelte Wert recht nahe beim Literaturwert liegt.
S1.1.3 Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases, pV = nRT, ergibt sich pVm = RT, wobei Vm das molare Volumen ist (also das Volumen für n = 1 mol). Durch Umstellen erhalten wir p = RT/Vm, so dass eine Auftragung von p gegen T/Vm eine Gerade mit der Steigung R ergeben sollte.
Reale Gase verhalten sich jedoch nur bei einem Druck von null ideal, daher müssen wir die Daten auf einen Druckwert von null extrapolieren. Eine Herangehensweise ist, die Zustandsgleichung des idealen Gases in die Form pVm/T = R zu bringen und zu erkennen, dass der Term pVm/T für ein reales Gas bei einem Druck von null gegen R geht. Daher kann aus dem Achsenabschnitt einer Auftragung von pVm/T gegen p bei p = 0 näherungsweise ein Wert für R erhalten werden. Damit die Extrapolation der Ausgleichsgeraden auf den Punkt bei p = 0 verlässlich