El segundo tramo de la función f es una función cuadrática con vértice (1; 1). La gráfica de f es:
Figura 1.27
Ejercicio 1.10
Grafique la siguiente función:
Solución
La primera parte de la función (x2 – 2 |x|) está definida sobre el intervalo 〈–∞; 2].
Por tal razón, es conveniente descomponer este intervalo en dos subintervalos: 〈–∞; 0〉 y [0; 2], pues sobre el primero tenemos |x| = – x y sobre el segundo, |x| = x. Aplicando la definición de valor absoluto, vemos que:
Graficando cada una de las funciones componentes sobre los intervalos indicados, obtenemos el gráfico de f que se muestra en la figura 1.28.
Figura 1.28
Notemos que también podríamos haber descompuesto el intervalo 〈–∞; 2] como 〈–∞; 2] = 〈–∞; 0] ∪ 〈0; 2] y el resultado sería el mismo.
1.7. Ejercicios propuestos
1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:
2. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:
3. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:
4. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:
5. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:
1.8. Modelos matemáticos
En esta sección, usaremos el lenguaje de las funciones para estudiar y describir situaciones reales. En tal sentido, llamaremos modelo matemático a una función que describe una situación dada. Una función que describe el costo de un producto en función del tiempo transcurrido desde su lanzamiento al mercado, una función que expresa la oferta de un producto como función de su precio unitario de venta, una función que nos permite estimar el tamaño de una población en función del tiempo transcurrido desde el inicio de la observación son ejemplos de modelos matemáticos.
Ejemplo 1.11
Un agricultor desea cercar un terreno rectangular con 1000 metros de cerca. Si el lado mayor del terreno se ubica a lo largo de un arroyo (y no requiere cerca), exprese el área del terreno como una función de su ancho. ¿Cuál es el dominio de esta función? Grafique la función.
Solución
El enunciado del problema nos pide expresar el área del terreno como una función de su ancho. Es decir, el ancho será nuestra variable. Denotemos por x el ancho del terreno, y por A (x) su área. Ya que la longitud total de la cerca es de 1000 metros y uno de los lados no lleva cerca, entonces la longitud del lado mayor del terreno será de (1000 – 2x) metros, tal como se muestra en la figura.
Figura 1.29
Luego, la función área viene dada por:
Se trata de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola con vértice (250; 125000). Luego, su gráfica es la que se muestra en la figura 1.30.
Figura 1.30
De la gráfica, notamos que el dominio de la función área es el intervalo 〈0; 500〉. Note que el intervalo es de extremos abiertos, pues x no puede ser 0 ni 500 (pues tendríamos un rectángulo de lado nulo).
Ejemplo 1.12
Si a una pieza rectangular de cartón de 18 cm de largo y 12 cm de ancho se le quita un pequeño cuadrado de cada esquina y se pliegan las alas para formar los lados, se construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante en función de la longitud x de un lado de los cuadrados eliminados. ¿Cuál es el dominio de esta función?
Solución
La siguiente figura muestra la situación descrita por el problema:
Figura 1.31
Si denotamos por V (x) la función volumen de la caja, entonces:
Como x, 12 – 2x, 18 – 2x denotan las medidas de la caja; estas deben ser positivas; es decir,
Entonces,
Figura 1.32
Por lo tanto, el dominio de V es el intervalo 〈0; 6〉.
Ejemplo 1.13
Un agricultor estima que si se plantan 60 naranjos en un determinado terreno, cada árbol producirá, en promedio, 400 naranjas. La producción media disminuirá en cuatro naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. Exprese la producción total del agricultor como una función de la cantidad adicional de árboles plantados y calcule la cantidad total de árboles que debería plantar para que la producción sea máxima. Grafique y halle el dominio de la función producción.
Solución
La siguiente tabla expresa la situación descrita en el problema:
| N.o de árboles plantados |
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