Matemática aplicada a los negocios. Victor Cabanillas Zanini

3x + 1 y g (x) = x² – 9. Ya que f y g son funciones cuadráticas, sus dominios son iguales a . Luego, solo debemos preocuparnos de que la función g del denominador sea distinta de cero. Por lo tanto:

1.4. Ejercicios resueltos

       Ejercicio 1.1

      Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

       Solución

      Para hallar el dominio de cada una de estas funciones, aplicaremos algunas propiedades y definiciones que se estudiaron en el curso Matemática Básica.

      a) Siendo el dominio de las funciones del numerador y denominador de f, basta exigir que el denominador sea distinto de cero. Pero:

      Por lo tanto,

      b) Notemos que la función

      contiene una raíz cúbica en el numerador y que la raíz cúbica, así como cualquier raíz impar, está definida para cualquier número real, por lo que no hay ninguna restricción en el numerador de f.

      En el denominador, debemos exigir que x³ – x² – 2x ≠ 0.

      Factorizando, tenemos:

      Es decir, x ≠ 0, x ≠ –1 y x ≠ 2. Por lo tanto:

       Ejercicio 1.2

      Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

       Solución

      Veamos:

      a) Para que la función esté definida, debemos exigir que 9 – x² ≥ 0. Cambiando de signo, podemos escribir x² – 9 ≤ 0. Es decir,

      Aplicando el método de los puntos críticos, obtenemos:

      Figura 1.16

      Luego, Dom (f) = [– 3; 3]

      b) La función está compuesta por una raíz cuadrada y un polinomio en el denominador que no puede anularse.

      Entonces,

      O lo que es lo mismo:

      Si resolvemos la inecuación anterior por el método de los puntos críticos, obtenemos:

      Figura 1.17

      Por lo tanto,

      Note que no fue necesario extraer el punto – 4 del dominio, pues este no pertenece a ninguno de los intervalos componentes.

      c) En la función , hay dos sumandos. La única exigencia sobre el primer sumando es que x ≠ 0. En cuanto al segundo sumando, debemos exigir que:

      Pero x² + 4 es siempre positivo, independientemente del valor que asuma x. Por lo tanto, si el numerador de la expresión anterior es positivo, su denominador deberá ser positivo para que el cociente exista y sea no negativo. Luego, debemos tener 1 – x > 0, es decir x < 1.

      Por lo tanto,

      Propiedades del valor absoluto Desigualdad Forma equivalente

       Ejercicio 1.3

      Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

       Solución

      a) Los elementos x en el dominio de deben satisfacer la condición 2 |x| – 1 > 0. Es decir, |x| > . Por lo tanto, el dominio de f es:

      b) Los elementos del dominio de deben satisfacer:

      Es decir,

      Así, los puntos críticos en el numerador son – 1 y 2. Los puntos críticos en el denominador son – 1 y 1. Es decir, el punto crítico – 1 se repite dos veces. Usando el método de puntos críticos, obtenemos:

      Figura 1.18

      Por lo tanto, el dominio de la función f es:

       Ejercicio 1.4

      Grafique las siguientes funciones:

      a)

      b)

       Solución

      Veamos:

      a)