Matemática aplicada a los negocios. Victor Cabanillas Zanini

Función cuadrática

      Definimos la función cuadrática por:

      Donde a, b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.

      Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.

      Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:

      El gráfico 1.12 resume lo anterior:

      Figura 1.12

       Ejemplo 1.5

      Considere la función cuadrática f (x) = 3x² – 6x + 3. Si comparamos esta función con la forma general f (x) = ax² + bx + c, notamos que a = 3, b = – 6 y c = 3. Halle el vértice de la parábola (gráfico de f):

      Luego, el vértice es el punto (1; 0). Además, como a = 3 > 0, resulta que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.

      La gráfica de la función f es:

      Figura 1.13

1.2.4 Función raíz cuadrada

      La función raíz cuadrada se define como:

       Observación 1.1

      Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.

       Observación 1.2

      También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:

      Como son números reales no negativos, su gráfico se encuentra en el primer cuadrante y es dado por:

      Figura 1.14

1.2.5 Función valor absoluto

      La función valor absoluto se define como:

      Recordemos que el valor absoluto de un número real se define como:

      La gráfica de esta función es:

      Figura 1.15

1.3. Operaciones con funciones

      En esta sección encontraremos el dominio de ciertas funciones combinadas. Llamamos funciones combinadas a aquellas que se definen como suma, diferencia, producto, cociente o composición de las funciones elementales que revisamos en la sección anterior.

      Antes de comenzar con los ejemplos, vale la pena hacer algunas observaciones.

       Observación 1.3

      Dadas las funciones f y g, las funciones suma f + g, diferencia f – g y producto f g se definen como:

      Por lo tanto, estas funciones estarán definidas en aquellos puntos x en los que ambas funciones estén definidas. Es decir, el dominio de f + g, f – g y f g se obtiene como la intersección de los dominios de las funciones f y g.

      Veamos dos ejemplos:

       Ejemplo 1.6

      Considere las funciones:

      Sabemos que Dom (g) = y Dom (h) = [0; +∞〉. Si definimos la función:

      vemos que esta es la suma de g y h. Luego, su dominio será:

       Ejemplo 1.7

      Ahora, considere la función:

      Notemos que f está definida como la suma de las funciones:

      Veamos cuál es el dominio de f. Para que las funciones g y h existan, debemos exigir que:

      Es decir,

      Entonces,

      Como f = g + h, entonces:

       Observación 1.4

      Dadas las funciones f y g, la función cociente se define como:

      Por lo tanto, esta función está definida en aquellos puntos x en los que ambas funciones f y g están definidas y además g (x) ≠ 0.

       Ejemplo 1.8

      Considere la función:

      Notemos que h