Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

especialment en la interpretació de la «reversibilitat i l'aproximació a l'equilibri (1872). Tanmateix, fou Gibbs qui va aportar les bases fonamentals de la Mecànica Estadística a partir del concepte de col·lectiu. Aquest concepte segueix prevalent en l'estructura bàsica de la Física Estadística tal com l'entenem actualment (inclosa la Física Estadística Quàntica). En aquest manual de Física Estadística, veurem els principis bàsics de totes dues, la Teoria Cinètica de Gasos i la Mecànica Estadística.

      Els noms de Boltzmann i Gibbs apareixen en un lloc rellevant en qualsevol introducció històrica a aquesta part de la Física. Amb motiu del 150 aniversari del naixement de Boltzmann (1844–1906), s'han comentat algunes de les seues aportacions més rellevants, com també l'entorn històric que va precipitar el seu tràgic final [Rañada, Revista Española de Física 8 (1994) 58]. Boltzmann fou catedràtic de Física Experimental, de Física Matemàtica, de Física Teòrica i de Matemàtiques en Graz, Munic, Leipzig i Viena, i impartí diversos cursos de filosofia. Alguns dels seus estudiants de doctorat foren Ehrenfest, Mayer, Meitner, Smoluchowski, Arrhenius, Nernst, etc. Malgrat (o potser «a causa de») la genialitat i transcendència científica de Boltzmann, les

      Figura 19

      seues idees trobaren una forta oposició entre els seus contemporanis, de manera que va caldre esperar a la mort de molts d'ells (i del mateix Boltzmann) perquè les seues aportacions foren finalment valorades.¹⁴ Entre elles, és possiblement la cèlebre equació S = k InW, que connecta l'entropia S (magnitud macroscòpica) amb el nombre de microestats W associat a un sistema (magnitud microscòpica) la més famosa, i apareix escolpida sobre el pedestal de la seua tomba ubicada en el cementeri central de Viena¹⁵ (vegeu la fig. 19). Per la seua banda, Gibbs presentà el 1902 el procediment general per al càlcul de totes les variables termodinàmiques que caracteritzen un sistema físic a partir de les propietats mecàniques dels seus constituents microscòpics. Els seus mètodes i resultats estan exposats en «Elementary Principles in Statistical Mechanics developed with special reference to the rational foundations of Thermodynamics». Les idees de Gibbs són aplicables, en principi, a qualsevol sistema físic que posseesca una «estructura mecànica» i obeesca les equacions de moviment de Hamilton, i es basen en el denominat mètode dels col lectius.¹⁶ Aquest mètode consisteix en l'enumeració dels diferents microestats corresponents a un macroestat donat, l'assignació d'una probabilitat a cadascun dels microestats, el calcul dels valors mitjans de les magnituds basant-se en aquesta distribució de probabilitat, i la identificació final d'aquests valors mitjans amb els valors de les variables termodinàmiques macroscopiques. L'exposició dels col·lectius de Gibbs és l'objectiu dels capítols 2-4 d'aquest llibre.

      El naixement de la Mecànica Quàntica va estendre l'estadística clàssica (denominada de Maxwell-Boltzmann) a les estadístiques quàntiques de Fermi- Dirac i Bose-Einstein, resultants d'aplicar els conceptes de simetria/ antisimetria de la funció d'ona als sistemes de bosons i fermions. Problemes que havien eludit una descripció estadística clàssica com el gas d'electrons de conducció en metalls, el comportament del ³He i ⁴He a baixes temperatures o el gas de fotons, van poder ser descrits. El desenvolupament de la Física Estadística Quàntica s'efectuarà en els capítols 5 i 6 del manual.

      Un tractament més complet del desenvolupament històric de la Física Estadística apareix en alguns textos generals [Pathria, Introd.; Gopal, Introd.] i en articles i llibres especialitzats [Brush, vol. I i II; Fernández Pineda i García Velarde, cap. 1].

      En l'actualitat tal volta siguen la condensació de Bose-Einstein, els fenòmens cooperatius deguts a la interacció simultània de moltes partícules i les fluctuacions i fenòmens de transport, algunes de les àrees d'investigació més actives. Aquests fenòmens apareixen en problemes de Física (baixes temperatures, transicions de fase, transport en líquids i sòlids, etc.), Química Física (fluids densos, polímers, etc.) i Biofísica (fenòmens cooperatius en biopolí- mers, organització i desenvolupament d'estructures biològiques, etc.). La condensació de Bose-Einstein es presenta en el capítol 6. Els sistemes de partícules interactives i el fenomen de cooperativitat es consideraran en el capítol 7. Finalment, una teoria elemental dels fenòmens de transport serà exposada en el capítol 8 d'aquest volum.

       Problemes

      A 1. S'atribueix a Huxley la frase següent: «…sis micos, posats a escriure d'una manera no intel·ligent sobre màquines d'escriure durant milions d'anys, arribarien a escriure tots els llibres que hi ha al Museu Britànic…». Demostra, introduint nombres raonables per a les magnituds involucrades, que aquesta afirmació és incorrecta.

      B 1. Descriu totes les possibles distribucions de N molècules amb una energia total E = 5 ε, si els estats disponibles tenen energies 0, ε, 2 ε, 3 ε, 4 ε i 5 ε. ¿Quina és la distribució més probable? Pren per a N els valors 50, 10³ i 10⁶.

      B 2. Calcula el nombre de disposicions g que es poden obtindré col·locant N objectes iguals en n cel·les de manera que: à) puga havern'hi diversos en cada cel·la (N pot ser major que n) i b) només hi haja com a màxim un objecte per cel·la (N és menor que n). Repeteix els càlculs suposant que els objectes són distints.

      A 2. a) Calcula el nombre de disposicions que es poden obtindré distribuint 10 partícules distingibles en 3 nivells d'energia, de tal manera que n₀ = 4, n₁ = 5, n₂ = 1 si les degeneracions dels nivells són g₀ = 1, g₁ = 2 i g₂ = 3.

      b) ¿Com es modificaria el nombre anterior si tots els nivells foren no degenerats? Nota: Un nivell i té una degeneració gi si hi ha gi estats (que poden acomodar una o més partícules) de la mateixa energia ε_i.

      Sol.- a) 120960, b) 1260.

      A 3. En la fabricació d'un instrument electrònic es troba que la probabilitat W(n) que l'instrument presente n defectes al cap de sis mesos és W(0) = 0.1, W(l) = 0.4, W(2) = 0.25, W(3) = 0.15, W(4) = 0.08 i W(5) = 0.02.

      a) ¿Quin és el nombre mitjà de defectes de tots els instruments en els primers sis mesos?

      b) Si tu compres un d'aquests instruments, ¿quin és el nombre de defectes més probable que tindrà el teu instrument al cap de sis mesos?

      c) Si l'instrument té una garantia de sis mesos, ¿quin és el nombre (el de a o el de b) que determina les despeses a realitzar pel fabricant?

      Sol.- a) 1.77, b) 1 i c) a.

      B 3. En el joc de la ruleta russa (no recomanat) s'introdueix un sol cartutx en el tambor d'un revòlver. Es fa girar el tambor i es prem el gallet tot recolzant el revòlver en el pols.

      a) ¿Quina és la probabilitat de sobreviure després de N vegades?

      b) ¿Quina és la probabilitat que el tret es produesca precisament l' N-èsima vegada?

      c) ¿Quin és el nombre mitjà de jugades que es té oportunitat de prémer el gallet?

      A 4. Un borratxo deixa un fanal i comença a caminar fent passos d'igual longitud cap a ambdós costats. ¿Quina és la probabilitat que després de N passos torne al fanal?

      Sol.- P = 0 si N és imparell, i si N és parell.

      B 4. Dos borratxos parteixen de l'origen amb les mateixes probabilitats en els seus passos, d'igual longitud. Calcula la probabilitat que tornen a trobarse després de N passos.

      A 5. Una bateria de fem V es connecta a una resistència R. La bateria és vella, de manera que existeix una probabilitat p que un element tinga el seu valor normal v de fem i (1 - p) que