Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega

para todo i. Entonces x ∈ X y x ∉ ⋃_i∈I A_i, y por tanto x ∈ X − (⋃_i∈I A_i).

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      Los conjuntos se relacionan mediante aplicaciones. Si A y B son conjuntos, una aplicación o función de A en B, que escribimos

      es una correspondencia (regla o criterio) que asigna a cada elemento a ∈ A un único elemento f(a) de B. A f(a) se le llama la imagen de a mediante f. El conjunto A se llama el dominio o conjunto inicial de f. El conjunto B se llama el codominio o conjunto final de f. El conjunto imagen

      f(A) = {f(a) | a ∈ A}

      es el subconjunto de B formado por todas las imágenes mediante f de los elementos de A.

      Podemos imaginar una función como una máquina cuyos inputs son los elementos de A. Damos a ∈ A a la máquina y esta produce un output perfectamente determinado que es f(a) ∈ B. Para el lector riguroso que no esté satisfecho ni con la definición ni con la idea de la máquina, podemos definir una función f : A → B como un subconjunto X ⊆ A × B tal que X ∩ ({a} × B) tiene exactamente un elemento para todo a ∈ A; pero esto es innecesariamente complicado. Si pensamos un momento sobre esta última definición, observamos que X es el grafo de la función f.

      El lector está seguramente acostumbrado a tratar con funciones entre números reales como las aplicaciones f : ℝ → ℝ dada por f(x) = x² + 1, o g : ℝ → ℝ dada por g(x) = sen(x). O incluso con funciones h : ℝ × ℝ → ℝ definidas por . (En estos ejemplos tendríamos que f(ℝ) = {a ∈ ℝ | a ≥ 1}, g(ℝ) = [−1, 1] y h(ℝ × ℝ) = {a ∈ ℝ | a ≥ 0}). Pero quizá el lector está menos acostumbrado a tratar con funciones sobre otros conjuntos, especialmente finitos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {2, 3} hay exactamente cuatro aplicaciones de A en B. Recordemos que todo elemento de A debe tener una y solo una imagen en B, por lo que las posibilidades están claras: f(1) = 2, f(2) = 2, g(1) = 3, g(2) = 3, h(1) = 2, h(2) = 3, y l(1) = 3, l(2) = 2 son todas las posibles funciones A → B. Tendríamos que f(A) = {2}, g(A) = {3}, h(A) = B y l(A) = B.

      Ejercicio 1.1 Sean A y B conjuntos. Sea B^A el conjunto de las aplicaciones de A en B. Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, probar que B^A tiene mⁿ elementos.

      Dos funciones f : A → B, g : C → D son iguales si A = C, B = D y f(a) = g(a) para todo a ∈ A. Por ejemplo, las funciones f : ℤ → ℤ y g : ℤ → ℕ dadas por f(z) = g(z) = z² no son iguales porque sus conjuntos finales son distintos.

      Para todo conjunto A, tenemos definida la función identidad 1_A : A → A con 1_A(a) = a para todo a ∈ A.

      Con frecuencia, lo primero que nos preguntamos sobre una aplicación f es si es inyectiva o suprayectiva; estos dos adjetivos se asocian de forma natural a las funciones. Una aplicación f : A → B es inyectiva si f(a₁) = f(a₂) solo si a1 = a₂, para a₁, a₂ ∈ A. En otras palabras, f es inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B. Si queremos comprobar que una función f es inyectiva, escribimos la igualdad f(a₁) = f(a₂) y tratamos de averiguar si a₁ es necesariamente igual a a₂ o no. Informalmente, si f es una aplicación inyectiva, pensamos que B contiene un subconjunto (f(A)) que tiene las mismas propiedades que A.

      Ejercicio 1.2 Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es injectiva, probar que n ≤ m.

      Una aplicación f : A → B es suprayectiva si f(A) = B. En otras palabras, si para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b. Si queremos comprobar si una función f es suprayectiva, elegimos un elemento b ∈ B arbitrario y lo intentamos expresar como f(a) para algún a de A.

      Ejercicio 1.3 Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es suprayectiva, probar que n ≥ m.

      Teorema 1.2 Supongamos que A y B tienen n elementos, y sea f : A → B. Entonces f es inyectiva si y solo si f es suprayectiva.

      Demostración. Esta es la primera vez en este libro que probamos un teorema si y solo si, por lo que hacemos una pausa para explicar lo que significa. Cuando tengamos que probar que un enunciado P es verdadero si y solo si un enunciado Q es verdadero, tenemos que probar que P implica Q (esto es, suponiendo P demostramos Q) y que Q implica P (suponiendo Q demostramos P).

      Escribamos A = {a₁, …, a_n}. Así, f(A) = {f(a₁), …, f(a_n)} ⊆ B.

      Supongamos que f es inyectiva. Entonces f(A) tiene n elementos, pues f(a_i) ≠ f(a_j) si i ≠ j. Como B tiene n elementos, necesariamente f(A) = B, y por tanto f es suprayectiva. Recíprocamente, si f es suprayectiva entonces f(A) = B tiene n elementos, y por tanto no puede ocurrir que f(a_i) = f(a_j) para distintos i y j.

      Finalmente, una aplicación f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y suprayectiva. Las aplicaciones biyectivas (o biyecciones) son las mejores aplicaciones que podemos encontrar entre dos conjuntos.

      Ejemplo 1.1 La función f : ℕ → ℕ dada por f(n) = 2n + 1 es inyectiva, pues si f(n) = f(m), entonces 2n + 1 = 2m + 1, y concluimos que n = m. Sin embargo, f no es suprayectiva, pues no podemos hallar ningún n ∈ ℕ tal que f(n) = 2. La función g : {1, 2, 3} → {a, b} dada por g(1) = a, g(2) = b y g(3) = a no es inyectiva, pues g(1) = g(3). Sin embargo, g es suprayectiva.

      Sean ahora f : ℝ → ℝ y g : ℝ → ℝ definidas por f(x) = sen(x) y g(x) = x². Observamos primero que g no es inyectiva pues g(−1) = g(1). Sin embargo, si definimos h : ℝ⁺ → ℝ con h(x) = x², donde ℝ⁺ = {x ∈ ℝ | x ≥