Para restar dos enteros se suma al primero el opuesto del segundo:
2 – (–3) = 2 + 3 = 5
3 – (5) = 3 + (–5) = –2
Se llama opuesto de un número al que tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Así el opuesto del 3 es el –3 y el opuesto del –5 es el 5.
situemos la ficha en la zona cero y lancemos el dado; supongamos que sale un dos
moveremos la ficha a la zona dos
Para sumar dos enteros que tengan distinto signo, se restan los valores absolutos y se añade el signo del que tenga mayor valor absoluto.
lancemos de nuevo y supongamos que salga un –3; moveremos la ficha tres casillas hacia la izquierda y acabaremos en la zona –1. Matemáticamente podemos representar este movimiento así: 2 + (– 3) = –1
lancemos de nuevo y supongamos que sale –2; nuestra ficha acabará en la zona –3. Podemos escribir lo siguiente: (–1) + (–2) = (–3)
MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS
| Resultado de los dados | Movimiento de la ficha | Expresión matemática |
| En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un 3. | Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la derecha. | 2 · 3 = 6 |
| En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un 3. | Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la izquierda. | (–2) · 3 = –6 |
| En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un –3. | Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la izquierda. | 2 · (–3) = –6 |
| En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un –3. | Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la derecha. | (–2) · (–3) = 6 |
Sigamos con nuestro juego de la página anterior, pero construyamos un nuevo dado, al que llamaremos dado de multiplicar, en tres de cuyas caras dibujaremos una estrella con un signo menos y en las otras tres una estrella con un signo más. Este dado servirá para duplicar el movimiento correspondiente al otro dado, el de los números.
Situemos la ficha en la casilla –2 y lancemos los dos dados. Si analizamos los casos posibles, llegaremos a esta conclusión: para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. Si los dos son del mismo signo el resultado será positivo. Si, por el contrario, son de signos diferentes el resultado será negativo.
El dado de multiplicar.
Tabla de la multiplicación.
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Cuatro hermanos tienen que asumir la deuda de su anciano padre: ocho mil euros. ¿Cuánto tendrá que devolver cada uno de ellos?
–8.000 : 4 = –2.000 €.
Cada uno tiene que devolver dos mil euros. En este caso decimos que la división es exacta.
¿Qué hubiera pasado si la deuda hubiera sido de ocho mil treinta euros? La operación no se podría realizar trabajando únicamente con números enteros, pues si cada uno de los hermanos devolviera dos mil siete euros, aún quedaría un resto de la deuda: dos euros. En este caso decimos que la división es entera.
Para medir la altura del terreno, se toma como nivel cero el nivel del mar. Entonces, para medir las profundidades marinas hay que utilizar números negativos.
El resto de una división entera tiene el mismo signo que el dividendo.
Cero grados centígrados (se escribe 0 °C) es la temperatura a la que se hiela el agua. En países muy fríos se pueden alcanzar temperaturas de cuarenta grados por debajo de cero. Este tipo de temperaturas se expresan con números negativos: –40 °C.
Tabla de la división.
Para determinar el signo del cociente podemos consultar la tabla de signos, que es semejante a la de la multiplicación.
Dividendo = divisor · cociente + resto
– 9 = 4 · (–2) + (–1)
POTENCIAS DE BASE NATURAL CON EXPONENTE ENTERO
•Para multiplicar dos potencias de la misma base y exponente natural basta con sumar los exponentes y conservar la misma base:
32 · 33 = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 32 + 3
•Para dividir dos potencias de la misma base y exponente natural restaremos los exponentes y dejaremos la misma base, ya que:
•Si el exponente del divisor es mayor que el del dividendo, se origina un exponente negativo que equivale a dividir la unidad entre la misma potencia pero con exponente positivo:
•Si el dividendo y el divisor son iguales, se origina una potencia de exponente cero que, por tanto, equivale a la unidad:
POTENCIAS DE BASE ENTERA
•Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4.
•Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo: (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = 4 · (–2) = – 8.
NÚMEROS RACIONALES
Marina ha intentado cantar una canción compuesta por Alberto, pero el tono de Do le resultaba demasiado grave, por lo que han decidido transportar la canción al tono de La. ¿Sonará la melodía exactamente igual, aunque, naturalmente, más aguda? Para contestar a esta pregunta tendremos que estudiar si la distancia de la nota Do a la nota Re, en el primer pentagrama es la misma que la distancia de la nota La a la nota Si en el segundo.