La cantidad ahorrada cada año se llama anualidad de capitalización. El capital final se calcula así:
= 764.194,29 euros.
Si Laura hubiera guardado el dinero en su casa, en el momento de jubilarse sólo tendría:
10.000 · 30 = 300.000 euros.
Los planes de inversión permiten obtener un suplemento al sueldo de jubilación.
DIFERENCIA ENTRE INTERÉS COMPUESTO Y ANUALIDADES
La diferencia entre José y Laura o, si lo prefieres, entre el interés compuesto y las anualidades consiste en que José deposita su dinero en el banco de golpe, mientras que Laura va depositando una parte cada año. Esto significa que su primera anualidad produce intereses compuestos durante 30 años; pero la segunda, sólo durante 29; la tercera, durante 28 y así sucesivamente.
HIPOTECAS
Ernesto se ha comprado un piso, pero como no tenía dinero suficiente, ha pedido una hipoteca de un millón de euros a un banco a devolver en 20 años. El tipo de interés anual es fijo: el 4%. ¿Qué cantidad de dinero tiene que devolver Ernesto cada año al banco?
Una hipoteca es un préstamo que nos hace una entidad bancaria para que podamos pagar el precio de una vivienda. Cuando un banco nos presta dinero, tenemos que devolver esa cantidad más los intereses correspondientes. La devolución de una hipoteca no se hace al final del plazo pactado, sino que cada año se devuelve una parte. La cantidad devuelta se denomina anualidad de amortización y se calcula así:
¿ MERECE LA PENA PEDIR UNA HIPOTECA?
Ernesto ha devuelto al banco en total 73.581,75 · 20 = 1.471.635 euros. Ha pagado pues 1.471.635 – 1.000.000 = 471.635 euros en concepto de intereses. Pero aún así, la operarción seguramente habrá sido rentable para él, ya que el aumento del valor de la vivienda en esos 20 años habrá sido muy superior.
El alto costo de las viviendas obliga a pedir una hipoteca a un banco.
FUNCIONES Y GRÁFICAS
Laura está realizando sus estudios y, con el fin de ganar algún dinero, compagina esta actividad con la de canguro. Cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros. Sin duda existe una relación entre el número de horas trabajadas y la cantidad de euros cobrados. Podemos expresar entonces el dinero que gana Laura, medido en euros, en función del tiempo trabajado, medido en horas.
VARIABLES Y FÓRMULAS
Para representar la relación existente entre dos cosas, empleamos dos variables, es decir, dos letras en las que podemos sustituir números. Una, en nuestro ejemplo las horas trabajadas, se llama variable independiente y se representa generalmente con la letra x. La otra, que se representa con la letra y, recibe el nombre de variable dependiente. En nuestro caso es el dinero que Laura ha cobrado y que depende de la cantidad de horas trabajadas.
Utilizando estas dos variables, podemos traducir la expresión que define la función: «cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros» a una fórmula matemática: y = 5x.
RELACIONES Y FUNCIONES
Una relación entre dos cosas será una función siempre que cumpla dos condiciones:
•Ambas se tienen que poder expresar con números reales.
•A cada valor de la variable independiente le tiene que corresponder un único valor de la variable dependiente. Así, por ejemplo, si Laura ha trabajado tres horas, tiene que cobrar quince euros y no puede cobrar ninguna otra cantidad.
LA FÓRMULA DE LA FUNCIÓN
El término función fue utilizado por primera vez por el filósofo y matemático alemán G.W. Leibniz, en 1673.
La fórmula de la función también puede escribirse así: f (x) = 5x. El matemático suizo Leonhard Euler ideó el símbolo f (x) en 1748. Para expresar, por ejemplo, que Laura ha trabajado tres horas y ha cobrado 15 euros, escribimos lo siguiente: f (3) = 5 · 3 = 15.
El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).
Laura se paga sus estudios haciendo de canguro.
TABLAS DE VALORES
También se puede definir una función por medio de una tabla que relacione los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente. Una tabla puede expresar, por ejemplo, los beneficios obtenidos por una empresa de automóviles. Los valores de la variable x corresponden al tiempo, medido en años, tomando como origen el año 2000. De esta manera el cero es el año 2000, el –2 es el año 1998 y el 3 es el 2003. Los valores de la variable y corresponden a las ganancias de la empresa o a sus pérdidas, si el valor es negativo. El par formado por el cero y el –4, por ejemplo, indica que el año 2000 la empresa tuvo unas pérdidas de 4 millones de euros.
Para poder dibujar la gráfica de una función, tenemos que disponer de un sistema de ejes de coordenadas. Se trata de dos rectas perpendiculares. La horizontal se llama eje de abscisas y la vertical, eje de ordenadas.
Los matemáticos de la antigua Mesopotamia ya usaban tablas de valores. Se han encontrado algunas del siglo IV a.C. que contienen datos que se utilizaban en astronomía.
Dibujo del primer par de valores de la tabla, formado por el –3 y el 5.
Al unir entre sí los puntos correspondientes a los valores de la tabla, se forma la gráfica de la función.
LA FUNCIÓN LINEAL
En este mercado oriental, en un día determinado cada kilogramo de judías verdes se vende al equivalente de dos euros; la fórmula matemática que expresa el valor en euros de una venta en función del número de kilogramos vendidos es: y = 2x. Una función de este tipo recibe el nombre de función lineal.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL
Hemos llamado x a la cantidad de kilogramos