A medida que crece el número de empleados que realizan un trabajo semejante, disminuye el número de horas necesarias para llevarlo a cabo.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA PLANA
REGLA DE TRES COMPUESTA
Para luchar contra un incendio, se han empleado 4 aviones que han sido capaces de arrojar en total 1.200 m3 de agua en 2 horas. ¿Cuántos aviones serían necesarios para lanzar 1.500 m3 en una hora?
En una regla de tres compuesta intervienen más de dos magnitudes, en este caso tres: el número de aviones, la cantidad de agua lanzada y el tiempo empleado.
A mayor número de aviones, mayor cantidad de agua. Luego, entre las dos primeras se puede establecer una proporcionalidad directa. En cambio, cuanto más aviones se empleen, menos tiempo se tardará en arrojar la misma cantidad de agua. Por consiguiente, las dos últimas son inversamente proporcionales.
Calculamos, en primer lugar, cuántos aviones serían precisos para arrojar 1.500 m3 de agua, suponiendo que también trabajaran dos horas:
Ahora calculamos cuántos aviones serían necesarios para hacer el mismo trabajo en una hora. Como la regla de tres es inversa:
TANTO POR CIENTO
El uno de enero del año pasado estaba en paro el doce por ciento de la población activa de un país, que asciende a 32 millones de personas. ¿Cuántos parados había en dicho país?
El tanto por ciento es un caso particular de proporción. Se trata de calcular el número de personas sin empleo, sabiendo que de cada 100, doce no tienen trabajo. Por tanto, hay que resolver la regla de tres siguiente:
· 32 = 0,12 · 32 = 3,84 millones. Es decir, 3.840.000 personas.
PORCENTAJE DE AUMENTO
Si el número de parados aumentó un 3% el pasado año, ¿cuántos parados había el uno de enero del presente año?
Se trata de aumentar la cantidad
3.840.000 en un 3%. Es decir:
= 3.955.200 parados.
Para indicar un porcentaje se emplea el símbolo %. Por ejemplo, un doce por ciento se escribe 12%.
PORCENTAJE DE DISMINUCIÓN
Según las previsiones, durante el presente año el número de personas sin empleo disminuirá un 3 %. ¿Qué cantidad de parados habrá el uno de enero del año próximo?
Si el número de personas sin empleo disminuye un 3 %, a comienzos del año que viene, de cada cien personas sólo estarán en paro 97. Por tanto, tenemos que calcular el 97 % de la cantidad inicial:
= 0,97 · 3.955.200 = 3.836.544 parados.
Un aumento del 3 % se puede calcular rápidamente multiplicando la cantidad inicial por el factor 1,03. Comprobémoslo en nuestro caso: 1,03 · 3.840.000 = 3.955.200.
Se podría pensar que, como partimos de 3.840.000 parados, aumentamos un 3 % esta cifra y la disminuimos otro 3 % después, terminaríamos con 3.840.000 personas sin empleo. No es cierto. La razón es sencilla: el primer 3 % se aplica a 3.840.000 y el segundo, a 3.955.200. La disminución es pues mayor que el aumento y llegamos a una cantidad menor que la inicial.
Para calcular rápidamente a qué equivale el 12 % de una cantidad, basta con multiplicarla por el factor 0,12.
| Cálculo del 5 % | Multiplicar la cantidad inicial por 0,05. |
| Aumento del 5 % | Multiplicar la cantidad inicial por 1,05. |
| Disminución del 5 % | Multiplicar la cantidad inicial por 0,95. |
CRÉDITOS E HIPOTECAS
A José le ha tocado un premio de un millón de euros en la lotería. Un banco le ofrece un tipo de interés compuesto del 3 %. Esto significa que la cantidad depositada, llamada capital, aumentará al cabo de un año un 3%, porcentaje que, como sabemos, equivale a multiplicar por 0,03 la cantidad de dinero. Este número decimal se llama rédito. Cuanto más tiempo tenga José el dinero en el banco, el capital final será mayor. Se llama interés a la diferencia entre el capital final y el inicial.
INTERÉS COMPUESTO
¿Qué cantidad tendrá José en el banco al cabo de tres años? Para contestar a esta pregunta podemos ir construyendo una tabla de interés compuesto o bien aplicar la fórmula de dicho interés:
C = 1.000.000 · (1 + 0,03)3 = = 1.092.727 euros.
Como los intereses se van acumulando al capital, el 3 % se aplica a cantidades mayores de dinero cada vez. Por consiguiente, el interés compuesto que el dinero produce anualmente no es constante, sino que cada vez es mayor.
INTERÉS SIMPLE
Aunque los bancos y las cajas de ahorro normalmente utilizan el interés compuesto, existe otro tipo de interés, llamado interés simple, que se caracteriza fundamentalmente por una propiedad: los intereses generados cada año no se acumulan al capital, sino que son siempre los mismos. Esto significa que si José deposita un millón de euros a un interés simple del 3 %, el banco le dará cada año 30.000 euros. Por tanto, los intereses acumulados durante los tres años ascenderán a 90.000 euros y el capital final será 1.090.000 euros.
Bombos para la realización de un sorteo (derecha) y el billete de la suerte de José (izquierda).
Una misma cantidad de dinero produce menos intereses si se deposita a interés simple que a interés compuesto.
Cajero automático de un banco.
PLANES DE INVERSIÓN
Laura es muy previsora. Sabe que, cuando se jubile, la pensión que cobrará será bastante menor que su sueldo actual. Por este motivo decide ahorrar 10.000 euros cada año e invertirlos en