Nippurskie edubby są znane w całej Mezopotamii. To tutaj skupiają się najprężniej działające i najbardziej wpływowe szkoły. Na każdym z tych niewielkich podwórek grupki uczniów zapisują rzędami na glinianych tabliczkach precyzyjne i nieregularne symbole pisma klinowego. To dla nich mistrzowie wymyślili pierwsze w historii programy nauczania. We wszystkich mezopotamskich szkołach podstawy programowe są takie same jak w Nippur. Uczniów stopniowo zapoznaje się z wszystkim, o czym dobrze wykształcony skryba powinien wiedzieć. Uczą się sumeryjskiego, języka wiedzy, doskonalą się w kaligrafii, robią ćwiczenia i piszą wypracowania. Mają tam również dostęp do najbardziej rozwiniętych wówczas gałęzi wiedzy. W tym, oczywiście, do matematyki.
Matematyka skrybów i matematyka, jaką posługuje się ulica, to dwie różne sprawy. Tak jak sumeryjski jest językiem erudytów i nie znajduje się w powszechnym użyciu, tak uczeni mają swój własny system liczbowy. System różniący się od tego, którym posługują się kupcy czy pasterze podczas przeprowadzania codziennych transakcji. To właśnie dzięki temu systemowi cywilizacja mezopotamska jako pierwsza zakosztowała, nie do końca celowo, uroków myślenia multiplikatywnego.
Wejdźmy na moment do jednej z edubb. Uczniowie znajdują się na podwórku. Jest ich około dziesięciu, siedzą na ziemi, w pełnym słońcu, rozwiązując zadania matematyczne. W prawej dłoni ściskają rylec – ścięty skośnie kawałek trzciny, którego ostrze sprawnie porusza się po miękkiej, świeżej powierzchni gliny. Czasem jeden z uczniów wstaje i podchodzi do studni, by zaczerpnąć odrobinę wody i namoczyć tabliczkę lub zetrzeć błąd.
Chociaż ich pismo różni się od naszego, system liczbowy jest zadziwiająco nowoczesny i bliski temu, którego używamy współcześnie. Jest to system pozycyjny. System, w którym wartość danej cyfry zależy od miejsca zajmowanego w zapisie.
Pisząc na przykład liczbę 123, wiesz, że są tu trzy jednostki, dwie dziesiątki i jedna setka. Wartość każdej pozycji jest dziesięciokrotnością pozycji znajdującej się na prawo. Mezopotamski system liczbowy funkcjonuje na tej samej zasadzie, z jednym wyjątkiem: każda pozycja jest sześćdziesięciokrotnością pozycji leżącej po prawej stronie. Nazywa się go systemem liczbowym o podstawie 60 lub sześćdziesiątkowym systemem liczbowym.
Spoglądając na tabliczkę jednego z uczniów, widzisz, że zapisał na niej 123. A ściślej mówiąc,
Systemu liczbowego o podstawie 60 używano przez dwa tysiąclecia, aż do schyłku cywilizacji mezopotamskiej. A jednak mimo fantastycznej skuteczności i zadziwiającej nowoczesności system ów miał dwie luki. Nippurskim uczonym nie wpadło bowiem do głowy, by wymyślić zero i przecinek.
Prawdopodobnie nie jesteś jeszcze na tyle obeznany z pismem klinowym i zapisem sześćdziesiątkowym, by dostrzec konsekwencje takiego zaniedbania, wyobraź więc sobie, co by się stało, gdyby dotyczyło ono naszego systemu dziesiątkowego. Jak byśmy sobie poradzili bez zera i przecinka? Spójrz na przykład na te liczby:
Teraz usuń zera i przecinki, a otrzymasz:
Kompletna niedorzeczność!
Tych liczb nie można od siebie odróżnić. Zapis liczb 12, 120 i 1,2 jest identyczny, tak jak identyczny będzie zapis liczb 540, 5400 i 0,54 albo liczb 9900, 990 i 9,9. Z braku pomysłu na zero i przecinek, bądź jakiekolwiek inne symbole spełniające ich funkcje, mezopotamscy skrybowie musieli stawić czoła poważnemu problemowi: w ich systemie różne liczby mogły mieć identyczny zapis!
Owszem, tę drobną niedoróbkę można łatwo wybaczyć, mając na uwadze, jakich naukowych wyczynów dokonali za pomocą swoich liczb: stworzyli piekielnie skuteczny aparat administracyjny, przeprowadzali niesamowicie precyzyjne obliczenia architektoniczne oraz odwzorowania topograficzne, dokonywali niewiarygodnie celnych pomiarów astronomicznych oraz obserwacji zjawisk kosmologicznych, posługiwali się abstrakcyjną matematyką, która to umiejętność zniknie wraz z ich cywilizacją i zostanie odkryta na nowo dopiero po upływie przeszło tysiąca lat. Nie można powiedzieć, żeby brak zera i przecinka jakoś specjalnie im przeszkadzał.
Ale na serio. Jak oni to zrobili? Jak można wykonywać obliczenia za pomocą liczb, których wartości nie znamy?
Mezopotamscy skrybowie poradzili z tym sobie w niezwykle błyskotliwy sposób. Istniejący problem nie tylko ich nie powstrzymał, ale wręcz uczynili go swoją siłą! Dzięki pomysłowi tyleż prostemu, co genialnemu niejednoznaczność zapisu pozwoliła im wykorzystać właściwości multiplikacji.
Sam oceń. Postaw się na chwilę w roli skryby. Weź glinianą płytkę i rylec, a następnie usiądź wśród innych uczniów. Na lekcji polecono wam pomnożyć 12 × 8. Zapisujesz działanie pismem klinowym na tabliczce[3] i zaczynasz się zastanawiać, jak to zrobić. Wykonanie obliczeń to żaden problem, masz do dyspozycji tablice mnożenia i doskonale opanowałeś metodę nauczaną przez mistrza. Jednak zanim zaczniesz liczyć, musisz wiedzieć, co masz policzyć! Niejednoznaczność zapisu sprawia, że nie wiesz do końca, jaką wartość mają 12 i 8. Być może 12 to w rzeczywistości 120? Albo 1200? A może nawet 0,12? Natomiast 8 równie dobrze może oznaczać 8, 80, 0,8 lub… Dodając nieistniejące zera lub przecinki, można wyobrazić sobie nieskończenie wiele sposobów zinterpretowania tego mnożenia. A tobie każe się podać poprawny wynik!
W tych warunkach zadanie wydaje się niewykonalne. Tymczasem zdarza się matematyczny cud. Spójrz na wyniki, jakie otrzymamy, sprawdzając kilka spośród możliwych interpretacji tego działania.
12 × 8 = 96
120 × 8 = 960
1200 × 8 = 9600
1,2 × 80 = 96
0,12 × 0,8 = 0,096
Wynikami tych działań są 96, 960, 9600 i 0,096. A bez zer i przecinków liczby te zapiszemy jako 96! Nie ma miejsca na błąd. Odpowiedź brzmi 96, bez względu na to, co owo 96 faktycznie oznacza.
Oto jedna z jednocześnie niepokojących i olśniewających zalet matematyki: można mówić rzeczy prawdziwe, nie wiedząc, o czym właściwie się mówi. Skrybowie mnożyli liczby bez zer i przecinków, otrzymując inne liczby bez zer i przecinków. Nie wiedzieli, jakich liczb używali, jednak ich wyniki zawsze były poprawne!
Wykorzystując tę właściwość, cywilizacja Mezopotamii odkryła coś, co wiele wieków później naukowcy nazwą niezmiennikiem. Niezmiennik, jak można się spodziewać, jest czymś, co się nie zmienia, pozostaje takie samo, i to bez względu na przekształcenia czynników warunkujących jego zaistnienie.
Tutaj, mimo wszystkich możliwych interpretacji mnożenia 12 × 8, wynik bez zer i przecinka pozostaje niezmienny: 96. Niezmienniki są obecne w wielu dziedzinach nauki. W trakcie naszej podróży matematycznej spotkamy ich jeszcze kilka. Ich odkrywanie zawsze dostarcza stymulującego poczucia, że dotarło się do jakiejś głębokiej i cennej prawdy. Że przejrzało się jakąś tajemnicę. Niezmiennik ujawnia to, co spaja rzeczy na pierwszy rzut oka odmienne. Jest łącznikiem, jak schowany gdzieś w głębi trybik, który gdy się go dostrzeże, dostarcza ekstatycznej radości wynikającej ze zrozumienia sposobu działania mechanizmu.
Skrybowie tak się oswoili ze swoim niezmienniczym systemem