Przeprowadziliśmy obserwacje. Stwierdziliśmy fakty. Teraz będziemy musieli przemyśleć, przeanalizować i rozłożyć problem na czynniki pierwsze. Dysponujemy faktami, a naszym zadaniem będzie przeprowadzić dochodzenie i ogłosić wnioski.
W marcu 1938 roku amerykański inżynier i fizyk, Frank Benford, opublikował artykuł zatytułowany The Law of Anomalous Numbers (Prawo liczb anomalnych), w którym przeanalizował ponad dwadzieścia tysięcy różnych danych numerycznych. Sporządzone przez niego tabele są spisami długości rzek świata, liczebności populacji amerykańskich miast, mas atomowych znanych pierwiastków, liczb znalezionych losowo w gazetach, stałych matematycznych. Przy każdej z tych kategorii Benford zauważa taką samą prawidłowość jak my: pierwsze cyfry nie są rozłożone równomiernie. Około 30 % liczb zaczyna się od 1. 18 % zaczyna się od 2. Odsetek maleje w miarę przybliżania się do cyfry 9, która występuje na początku tylko w 5 % przypadków.
Benfordowi nie przyszło do głowy, by porównać swoje dane statystyczne z cenami w okolicznym supersamie. Przyznasz jednak, że jego wyniki dziwnie przypominają nasze. Istnieją, oczywiście, drobne odstępstwa, ale ogólnie rzecz biorąc, podobieństwo jest uderzające.
Praca Benforda dowodzi, że zebrane przez nas dane nie są wyjątkiem. Nie ilustrują prawidłowości specyficznej dla supermarketów, lecz wpisują się w o wiele ogólniejszy trend. Po 1938 roku identyczny rozkład zaobserwowało wielu naukowców w najróżniejszych, często zaskakujących dziedzinach.
Na przykład w demografii. Wśród 203 krajów[2], jakie znajdują się na kuli ziemskiej, aż 62, czyli 30,5 %, ma populację, której wielkość zaczyna się od cyfry 1. Poczynając od najbardziej zaludnionych Chin z 1,4 miliarda mieszkańców. Wśród tych 62 państw znajdują się także: Meksyk – 122 miliony mieszkańców, Senegal – 13 milionów mieszkańców, czy archipelag Tuvalu – 10 800 mieszkańców. Istnieje natomiast tylko 14 państw, a więc 6,9 %, których liczba mieszkańców zaczyna się od cyfry 9.
Wolisz astronomię? W wypadku czterech z ośmiu planet krążących wokół Słońca liczba opisująca średnicę równikową zaczyna się od 1. Jowisz – 142 984 km. Saturn – 120 536 km. Ziemia – 12 756. Wenus – 12 104. Nawet średnica Słońca wynosi 1 392 000 km. A jeżeli próbka dziewięciu ciał niebieskich nie wydaje ci się wystarczająco reprezentatywna, by uznać istnienie tej prawidłowości, dodaj planety karłowate, satelity, asteroidy czy komety, a i tak dojdziesz do tego samego wniosku: jedynka górą.
Wystarczy wzmóc czujność, by przykłady zaczęły się mnożyć. Weź jakiekolwiek zestawienie liczb, przeanalizuj pierwsze cyfry i bingo: rozkład Benforda widoczny jak na dłoni. Nie ma mowy o wyjątku, owa statystyczna prawidłowość wydaje się bowiem całkowicie naturalna i wszechobecna. Równomierny rozkład, za którym pewnie opowiedzielibyśmy się intuicyjnie, paradoksalnie jest we wszechświecie nieobecny.
Na tym poziomie trudno mówić o zwykłej ciekawostce handlowej. To, co właśnie wydobyliśmy na światło dzienne, jest faktycznym prawem, które reguluje nie tylko liczne dziedziny ludzkiej aktywności, ale również samą naturę, na jej najbardziej podstawowym poziomie. Zrozumieć to prawo to zrozumieć coś ważnego o naszym świecie i jego funkcjonowaniu.
Wpływ prawa Benforda jest na tyle duży, że sami je nieświadomie powielamy. Ludzie, którzy ustalają ceny w supersamach, nie uzgadniają tego ze sobą i w większości nigdy nie słyszeli o Franku Benfordzie. A mimo to, jakby wiedzeni niewidzialną siłą, poddają się jego prawu. Podobnie dzieje się z populacjami państw, długościami rzek i średnicami planet.
W 1938 roku Frank Benford nazwał ten rozkład „prawem liczb anomalnych”. Prawo jest jednak tak wszechobecne, że nazwa wydaje się niewłaściwa. Anomalia jest wyłącznie subiektywna, istnieje tylko dla tych, których dziwi. W przeciwieństwie do nas natura zdaje się uznawać to prawo za całkowicie pospolite. Prawo jest anomalne tylko do czasu, gdy pozostaje niezrozumiałe. A my przecież mamy zamiar je zrozumieć.
W którą więc stronę wyruszyć? Jak pokierować naszą myśl, by rzucić światło na anomalię i zmienić tajemnicę w oczywistość?
Prawo Benforda dość łatwo zrozumieć, co jednak nie oznacza, że da się je wyjaśnić w kilku zdaniach. Ukryta w nim matematyka jest prosta, ale zarazem głęboka. Nie jest to łamigłówka, do której rozwiązania wystarczy słowo klucz zapewniające doznanie olśnienia i radosny okrzyk: „Yes! No przecież!”. Będziemy musieli radykalnie zmienić nasze rozumienie liczb oraz sposób liczenia. Jeżeli prawo Benforda nie wydaje nam się oczywiste, to dlatego, że myślimy niewłaściwie. Będziemy musieli nauczyć się spoglądać inaczej na rzeczy, o których sądziliśmy, że dobrze je znamy. Będziemy musieli zakwestionować samych siebie.
Nie wraca się takim samym z podróży do świata, który otworzył przed nami Frank Benford. Jego prawo cię odmieni. Gdy wreszcie je zrozumiesz, zaczniesz myśleć inaczej.
Myślenie multiplikatywne
Wiele codziennych sytuacji dyskretnie nam uświadamia, że słabo sobie radzimy z liczbami. Wiemy, że dzwoni, ale nie wiemy, w którym kościele.
À propos liczb, mam dla ciebie krótką anegdotę.
Kilka lat temu na wieczornej posiadówce u przyjaciół ktoś wpadł na pomysł, by zorganizować quiz z wiedzy o świecie. Podzieliliśmy się na dwie drużyny. Każda miała odpowiedzieć na serię pytań z różnych dziedzin, począwszy od matematyki, przez biologię i informatykę, na geologii kończąc. Po każdym pytaniu drużyny miały podać odpowiedź, a ta najbliższa prawdy była premiowana punktem. Zasada, wydawałoby się, prosta i jednoznaczna. Jednak po kilku rundach gry pewna kwestia astronomiczna wywołała nieoczekiwany spór.
Pytanie brzmiało: „W jakiej odległości od Ziemi znajduje się Księżyc?”.
W naszej drużynie nikt nie znał odpowiedzi, ale po naradzie uzgodniliśmy, że będzie to 800 000 km. Ustalenia w drużynie przeciwnej przebiegały w bardziej nerwowej atmosferze, ale w końcu i tam pojawiła się odpowiedź: 10 km!
Najwyraźniej znali się na astronomii jeszcze gorzej niż my. Najwyższa góra na świecie, Mount Everest, ma prawie 9 km wysokości. Gdyby Księżyc znajdował się w odległości zaledwie 10 km, wystarczyłoby na nią wejść, by mieć naszego naturalnego satelitę na wyciągnięcie ręki. Ich odpowiedź była absurdalna. Wszystko wskazywało na to, że punkt mamy w kieszeni.
Tymczasem po weryfikacji wyników sprawy przybrały co najmniej zaskakujący obrót. W rzeczywistości Księżyc znajduje się w odległości 384 000 km od Ziemi. Zwykłe odejmowanie pokazało więc, że pomyliliśmy się o 416 000 km, podczas gdy drużyna przeciwna pomyliła się tylko o 383 990 km.
Pokręciłem nosem i w głowie policzyłem wszystko jeszcze raz. Na próżno. Przyznaję, że na wszelki wypadek nabazgrałem nawet na papierowej serwetce taki schemat:
Nie ulegało wątpliwości, że ich odpowiedź była bliższa prawdy niż nasza. Wygrali. Jeszcze przez kilka minut mieliłem w głowie przeprowadzone obliczenia, ale nie dało się im nic zarzucić. Matematyka nie pozostawiała wątpliwości.
Czy nie uważasz jednak, że było w tej sytuacji coś niesprawiedliwego? Być może uznasz, że nie umiem przegrywać – trudno – ale czy nie wydaje ci się, że mimo formalnego rezultatu odejmowania nasza odpowiedź była właściwsza, bardziej przemyślana i, w pewnym sensie, mniej niepoprawna niż odpowiedź przeciwnej drużyny?
Dlaczego w takim razie matematyka zdaje się twierdzić co innego? Dlaczego obliczenia wskazują na odpowiedź, która wyraźnie przeczy zdrowemu rozsądkowi?
Być