Teoria parasola. Mickael Launay

te pytania są zarazem stymulujące i przerażające. Proces zdobywania wiedzy o rzeczywistości obejmuje kilka etapów. Najpierw pojawia się uczucie pojmowania czegoś intuicyjnie, w sposób nie do końca jasny. Niektóre góry są wyższe od innych. Potem powstaje konieczność potwierdzenia intuicji za pomocą pomiarów i definicji. Mierzymy wysokość w metrach od poziomu morza. Te definicje towarzyszą nam przez jakiś czas i popychają nas naprzód. Wytyczają ścieżkę w naszych rozważaniach. Wytyczają tak dobrze, że doprowadzają nas do punktu, w którym dają nam znać, że nie będą mogły iść z nami dalej, że trzeba będzie się rozdzielić. Wówczas nastaje prawdopodobnie najdelikatniejszy moment. Najbardziej niekomfortowy, ale także najbardziej ekscytujący. Moment rozstania. Chwila, w której rzeczy stają się tak precyzyjne, że na nowo robią się mętne; w której dociera do nas dostatecznie jasno, że rozumiemy, iż jednak nie do końca rozumiemy – jak z pięknym zdjęciem, które zamienia się w zbiór rozmazanych plamek, gdy oglądamy je ze zbyt bliska.

      Przeanalizowane na wszystkie sposoby zagadnienie wysokości ostatecznie, w zestawieniu z prawdziwymi problemami, wydaje się tym, czym piana dla oceanu. W końcu to, że nie da się obiektywnie wskazać najwyższego szczytu planety, jest mało istotne. To pseudoproblem, zmyłka, drobiazg. Oto bowiem inne zagadki zdają nam się teraz godniejsze zainteresowania. Dlaczego różne definicje wysokości są tak niespójne? Dlaczego Ziemia nie jest okrągła? Zresztą dlaczego w ogóle miałaby taka być? Czy jej forma jest owocem czystego przypadku, czy reguluje ją jakieś prawo natury? Czym w tych warunkach jest góra i dół? Jak uprawiać naukę, skoro roi się w niej od takich pozornie prostych pytań, których subtelność ujawnia się dopiero, gdy bliżej się im przyglądamy?

      Tak jak anomalie w supermarketach naprowadziły nas na trop prawa Benforda, tak rozbieżność definicji opisujących wysokość jest jedynie szczegółem potrzebnym, by pobudzić naszą uwagę. Sedno problemu kryje się dalej. Zatem w drogę! Przed nami jeszcze wiele zachwycających miejsc.

      Czym są liczby?

      Wkrótce wrócimy na zbocza Chimborazo, tymczasem zejdźmy na moment z wulkanu, żeby przyjrzeć się ścieżkom, jakie przetarli dla nas niegdysiejsi uczeni. Oni także, na długo przed nami, mieli rozmaite wątpliwości i błądzili. Niekiedy te wątpliwości hamowały postęp przez całe wieki, aż do chwili, gdy jednemu z nich udało się wytyczyć drogę, a szlak jego odkryć został zabezpieczony i oznakowany.

      Wiele narzędzi służących poznawaniu świata, które wynaleźli nasi przodkowie, ma charakter matematyczny. Do najistotniejszych spośród nich należy pojęcie liczby. Służy ono do liczenia, mierzenia, kalkulowania. Każda szanująca się nauka musi być z nim za pan brat.

      Jasne, że wiesz, czym są liczby. Spotykasz się z nimi na co dzień, przenikają nasze życie do tego stopnia, że czasem w ogóle nie zdajemy sobie sprawy, że w nim są. Pojawiają się podczas odczytywania godziny, płacenia w sklepie, zerkania na licznik samochodowy, mierzenia wysokości góry, na dole tej strony… Są wszędzie! A jednak natura liczb takich, jak postrzegają je matematycy, mocno różni się od natury liczb w rozumieniu potocznym i warto zastanowić się przez chwilę nad niewinnym z pozoru pytaniem: czym tak naprawdę są liczby?

      Z czysto gramatycznego punktu widzenia w większości języków, z francuskim włącznie, liczby są przeważnie przymiotnikami. To znaczy, że łączą się z rzeczownikami, aby wskazać, ile ich jest, tak jak inne przymiotniki mogą wskazywać kolor, kształt czy inną cechę[7]. Liczby zliczają. Mówią o tym, ile czegoś jest. Jeśli powiem, na przykład, że w tym zdaniu jest sześćdziesiąt pięć samogłosek i sto trzy spółgłoski[8], liczebniki „sześćdziesiąt pięć” i „sto trzy” są tutaj, by dookreślić rzeczowniki „samogłoski” i „spółgłoski”. Sensu przydają im jedynie rzeczowniki, z którymi są powiązane.

      W rzadkich przypadkach języki nadają liczbom odmienny status. Na przykład w dawnym maoryskim liczby postrzegano jako czasowniki, czyli działania podmiotu, a nie jego bierne cechy. Gdyby w języku francuskim wykształcił się podobny stosunek do liczb, Aleksander Dumas napisałby Trójkujących muszkieterów (choć tak naprawdę czwórkowali, licząc d’Artagnana), kapitan Nemo byłby bohaterem Mil dwudziestotysiącujących podwodną żeglugę, podczas gdy ja mógłbym spokojnie stwierdzić, że litery w tym zdaniu dwieściedziewięćdziesiątkują. Gdybyśmy musieli myśleć o ilościach w takich kategoriach językowych, nasze relacje z liczbami całkowicie różniłyby się od dotychczasowych.

      Ale matematycy zdecydowali się przyjąć jeszcze inny punkt widzenia. Dla nich liczby nie są ani przymiotnikami, ani czasownikami – są rzeczownikami. W świecie matematycznym to one zajmują centralne miejsce. Liczba nie jest „liczbą czegoś tam”. Trzy nie jest „trzema dniami”, „trzema kilometrami” czy „trzema czym tam sobie chcesz”: trzy to trzy. Koniec kropka.

      Mezopotamscy uczeni byli pierwszymi, którzy weszli na ścieżkę oddzielającą liczbę od liczonego obiektu. Dla skrybów, których poznaliśmy w Nippur, dwanaście ma postać , bez względu na to, czy liczy się barany, krowy czy cokolwiek innego. Nie zawsze tak było. Na samym początku istnienia pisma dwunastkę opisującą „dwanaście baranów” zapisywano inaczej niż dwunastkę odnoszącą się do krów. Ta pierwsza faza myślenia abstrakcyjnego była przełomowa dla kształtowania się matematyki jako samodzielnej dyscypliny.

      Druga faza nastała, gdy uczeni stopniowo zaczęli używać liczb w oderwaniu od konkretnych obiektów. Dwanaście może być dwunastką, która niczego nie zlicza. Owa subtelna zmiana będzie potrzebowała tysięcy lat dojrzewania i korekt.

      Dzisiaj jeszcze większość ludzi traktuje liczby ilościowo. Jeżeli powiem, że 3 + 5 = 8, jest całkiem możliwe, że wyobrazisz sobie to równanie następująco: „trzy coś tam” dodać „pięć czegoś tam” równa się „osiem czegoś tam”. W porządku, nie musimy wiedzieć, czym są te „cośtamy”, ale trudno nam pojąć, że mogłoby ich w ogóle nie być! Nasz umysł ma tendencję do interpretowania liczb jako ilości. Jednak równanie 3 + 5 = 8 można śmiało potraktować jako prostą prawdę świata matematycznego bez konieczności dopasowywania jej do jakiegokolwiek fizycznego obiektu.

      Ta koncepcja jest jednocześnie krucha i potężna, to właśnie w tej abstrakcyjnej wolności liczby będą mogły ujawnić cały swój potencjał. Zacznijmy oswajać się z faktem, że liczby istnieją jako samodzielne byty, a ujawnią nam one moce, o których nie śniło się nippurskim skrybom.

      Aby zdać sobie sprawę z tego, jak rozległe jest terytorium liczb, warto rozważyć na początek kilka konkretnych przykładów. Pomówmy o jedzeniu. Ostrygi i spaghetti mają jeden punkt wspólny, mianowicie istnieją w rozmaitych rozmiarach, a owe rozmiary opisują stosowne skale liczbowe. Te dwie skale różnią się jednak znacząco: są przeciwstawne. Małe liczby wskazują na duże ostrygi i na cienkie spaghetti.

      Owa odwrócona gradacja jest myląca. Żeby nie powiedzieć – irytująca, jeżeli, tak jak ja, ktoś jest zafiksowany na punkcie porządku. Chciałoby się poprosić osoby numerujące produkty spożywcze, żeby się dogadały ze sobą. Ale zastanów się przez chwilę: który z tych dwóch porządków wydaje ci się naturalniejszy? Gdybyś miał możliwość zmiany jednej ze skal, zreformowałbyś ostrygową czy makaronową?

      Co ciekawe, odpowiedź na to pytanie będzie inna w zależności od ankietowanych osób[9]. Te dwie numeracje odzwierciedlają dwa różne sposoby myślenia, a żadnego z nich nie można uznać za obiektywnie lepszy od drugiego. W przypadku spaghetti liczba jest ściśle związana z kalibrem. Im grubsza nitka, tym wyższa liczba, co wydaje się dość logiczne. W przypadku ostryg mamy zaś do czynienia z klasyfikacją rodem z zawodów sportowych. Na podium najwyższy stopień jest lepszy niż ten drugi, usytuowany nieco niżej, mimo że 1 jest mniejsze od