La rigidez flexional se obtiene por simple teorema de Steiner a partir de la rigidez flexional de cada lámina como
Donde lógicamente, Ei es el módulo elástico de cada lámina (nulo para láminas perpendiculares), Ai e Ii son las inercias de cada una de las láminas longitudinales y es,i es la distancia del centro de gravedad de cada láminas longitudinales no centrales a la fibra neutra. Nótese, por lo tanto, que se asume un E90 = 0, así es que en realidad KCLT se obtiene únicamente aplicando el teorema de Steiner con las láminas longitudinales no centrales, y la suma de la inercia flexional de la lámina central.
La rigidez al cortante se obtiene deduciendo directamente la deformación por corte mediante el principio de fuerzas virtuales. La expresión resultante es relativamente compleja, por lo que se suele trabajar con tablas o gráficos. Así, por ejemplo, para el caso de que los espesores de las láminas sean todos idénticos, se puede determinar k mediante la siguiente expresión para cualquier relación entre la rigidez del cortante longitudinal y la de rodadura
Donde los factores de corrección más típicos, para relaciones entre G/Grod de 10, 14.4 y 13.8, que además se requieren para determinar k para cualquier relación según la ecuación anterior, se detallan en la Tabla 1.2.2.
| TABLA 1.2.2 Valores de corrección de rigidez de corte por no planicie de secciones debido a la flexibilidad de la rodadura, k, en la aplicación de la teoría de viga flexible de Timoshenko para el CLT. Los valores se presentan para diferentes relaciones de la rigidez cortante G/Grod (relaciones de 10, 13.8 y 14.4, para otras relaciones es necesario aplicar la ecuación antrerior) y para diferente número de laminaciones del CLT (basado en de Bogensperger et al. 2012). | |||
| Número de laminaciones | Relación rigidez de cortante G/Grod | ||
| k10 | k13.8 | k14.4 | |
| 3 | 4,854 | 6,468 | 6,723 |
| 5 | 4,107 | 5,441 | 5,652 |
| 7 | 3,873 | 5,116 | 5,313 |
Por otra parte, en caso de que las láminas transversales y longitudinales del CLT no todas las laminaciones tengan el mismo espesor, es necesario aplicar un factor de corrección al propio k. Este factor depende principalmente de la relación entre el espesor medio de las láminas longitudinales (tL), y el espesor medio de las láminas perpendiculares (tQ)
En el caso de que el espesor sea constante, i.e. tL/tQ = 1, el factor de corrección por espesor de lámina es 1, es decir la rigidez es mínima, mientras que para cuando la relación de espesores es dispar, entre 0,5 y 2, la rigidez de corte se incrementa (k disminuye). La variación del factor de corrección por espesor de lámina para diferentes relaciones de tL/tQ en el caso de CLT de 5 láminas, se muestra en la Figura 1.2.2.1. Asimismo, valores típicos del factor k para diferentes configuraciones se proporcionan en el Anexo C5.
FIGURA 1.2.2.1 Efecto de la relación de espesor de láminas longitduinales y perpendiculares, tL /tQ , en el valor del factor de corrección de rigidez por no planicie de secciones k (basado en Bogensperger et al. 2012).
Finalmente, una vez determinado el factor k, se determina la rigidez efectiva de corte como
Nótese que, a diferencia de la rigidez flexional, la rigidez al corte de las láminas perpendiculares, Grod, no se desprecia y sí tributa en la fórmula anterior.
Para el caso especial de que todas las láminas se fabriquen con el mismo material y tengan el mismo espesor, pueden emplearse las siguientes fórmulas simplificadas para el cálculo de la rigidez flexional y cortante
3Láminas
5Láminas
7Láminas
Determinación de las tensiones
La típica distribución de tensiones de este modelo, se ilustra en la Figura 1.2.2.2. Dado que la rigidez axial de las capas perpendiculares se asume nula, no existen tensiones en las láminas perpendiculares, lo cual se aproxima a lo que sucede en la realidad, ya que las tensiones axiales en las láminas perpendiculares son ínfimas. Obviamente, bajo estas circunstancias la tensión axial de flexión en cualquier punto de la sección, y la tensión máxima se puede calcular como
Por otra parte, en el caso de las tensiones cortantes, la contribución del primer momento estático de área de cada una de las láminas se escala de acuerdo a la relación de rigidez Ei/KCLT, así es que las láminas perpendiculares no tienen ninguna contribución en el incremento de las tensiones tangenciales. Sin embargo, a diferencia de las tensiones normales, el momento estático de las láminas longitudinales más alejadas de la fibra neutra “sigue contribuyendo”, o dicho de otra forma, la diferencia del momento flector en las láminas longitudinales sigue produciendo la misma tensión cortante en las láminas perpendiculares, así es que las tensiones cortantes de rodadura en las láminas perpendiculares se corresponden con la tensión de cortante longitudinal adyacente en las láminas longitudinales vecinas (y puede calcularse como tal), ver Figura 1.2.2.2.
FIGURA 1.2.2.2 Típica distribución de tensiones axiales y cortantes en un panel de CLT bajo el modelo de viga flexible de Timoshenko.
De este modo, la tensión de corte puede calcularse en cualquier punto de la sección como
Donde z se refiere a la distancia vertical desde la fibra neutra hasta el punto considerado, y z* se refiere a la distancia vertical entre el inicio de la lámina correspondiente y el punto considerado. Por otra parte la tensión máxima sucede igualmente en el centro de las láminas (z = 0) y se puede determinar como
Donde lógicamente es,i es en este caso la distancia del centro de gravedad de cada una de las láminas (o semi-lámina en el caso de la lámina central, si es que esta es longitudinal) a la fibra neutra. Para el cálculo de las tensiones de rodadura en las láminas perpendiculares, basta con calcular cual es la tensión cortante en cada una de las láminas longitudinales. Por ejemplo, para el caso de CLT con 5 láminas, con láminas externas dispuestas siguiendo el esfuerzo axial según se indica en la Figura 1.2.2.2, podría calcularse la tensión cortante máxima en las láminas externas únicamente considerando el módulo elástico y estático correspondiente a la última lámina, lo que permitiría calcular la tensión de rodadura en la lámina perpendicular inmediatamente adyacente.
Ventajas y desventajas del método
Ventajas: permite el cálculo analítico manual, pero además el modelo suele estar disponible en la mayoría de software computacionales, pudiendo extenderse a 2D, pudiéndose aplicar bajo cualquier tipo de carga y condiciones de contorno; las predicciones de flecha suelen ser aceptables.
Desventajas: la predicción de tensiones para el caso de vigas continuas, puede dar resultados bastante alejados de la realidad.
1.2.3 Aplicación del método γ
El