Чтобы запустить процесс, Евклид составил несколько основных определений: четких, ясных утверждений для таких основных «технических» понятий, как линия или круг, по сути очевидных. Типичный пример такого определения: тупым называется угол больше прямого.
Эти определения предоставили терминологию, необходимую для формулировки не требующих доказательств утверждений, которые Евклид разделил на два вида: общие утверждения и постулаты. Типичное общее утверждение: объекты, равные одному и тому же, равны и между собой. А типичный постулат: все прямые углы равны между собой.
Мы уже объединили оба эти типа утверждений в один и называем их аксиомами. Математические аксиомы – исходные утверждения, не требующие доказательств. Мы считаем, что аксиомы – как правила игры, и верим, что они всегда выполняются. Мы уже не задаемся вопросом, верны ли эти правила, – мы уже не думаем, что эта игра единственная в своем роде. Всякий, кто собирается участвовать в какой-то конкретной игре, должен соблюдать ее правила; иначе он волен выбрать другую, но в ней правила первой не будут работать.
Правильный многогранник, или платоново тело, – выпуклый многогранник, который состоит из равных граней в виде правильных многоугольников и имеет равное число ребер, выходящих из каждой вершины. Пифагорейцы описывали пять таких правильных многогранников.
Пять платоновых тел
• Тетраэдр образован четырьмя правильными треугольниками.
• Куб (гексаэдр) образован шестью квадратами.
• Октаэдр образован восемью правильными треугольниками.
• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.
• Икосаэдр образован 20 правильными треугольниками.
Их связывали с четырьмя стихиями Античности: землей, воздухом, огнем и водой – и с пятым элементом – квинтэссенцией.
Во времена Евклида и позже, почти 2000 лет, математикам такое не могло и в голову прийти. Практически все относились к аксиомам как к самоочевидным истинам, чью незыблемость никто не посмел бы оспорить. Евклид недаром приложил все свои таланты, чтобы сделать аксиомы именно такими, – и почти преуспел. Однако одна – аксиома параллельности – оказалась особенно сложной и не такой уж очевидной. Многие ученые пытались вывести ее из более простых общих понятий. Позже мы увидим, к каким поразительным открытиям привели эти попытки.
Опираясь на эти простые утверждения, «Начала» обеспечивали доказательства всё более сложных геометрических теорем. Например, в книге I, теореме 5 доказывается, что углы у основания равнобедренного треугольника (у которого