Греческая геометрия лучше всего работает с многоугольниками – фигурами, образованными прямыми линиями. Но окружность – кривая, и Архимед подбирается к ней с помощью аппроксимирующих многоугольников. Чтобы вычислить π, он сравнил длину круга с периметрами многоугольников двух последовательностей: в одной фигуры были вписаны в круг, в другой – описаны вокруг него. Периметр прямоугольника в круге должен был быть меньше длины окружности, а периметр наружного – больше. Для простоты Архимед брал правильные многоугольники, деля их стороны пополам, начиная с шестиугольника и получая соответственно 12 сторон, 24, 48 и т. д. Он остановился на 96. Его вычисления дали результат 3 10/71 < π < 3 1/7, т. е. значение π оказалось между 3,1408 и 3,1429.
Архимедовы исследования шара заслуживают особого внимания: мы не только знакомы с его строгим доказательством, но и знаем, как оно было открыто, – и уж в этой истории никакой строгости нет. Обоснование приводится в его книге «О шаре и цилиндре». Он доказывает, что объем шара равен двум третям от объема описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Говоря современным языком, Архимед доказал, что объем шара равен 4/3 πr3, где r – радиус; а площадь его поверхности равна 4πr2. Эти формулы используются и по сей день.
В доказательствах Архимед использовал метод исчерпывания. Он имеет важное ограничение: вам необходимо знать результат заранее, чтобы повысить свои шансы доказать его. Много веков ученые не могли понять, как Архимеду удалось это узнать. Но в 1906 г. голландский ученый Йохан Гейберг наткнулся на пергамент XIII в. с записанными на нем псалмами и обнаружил под ними более ранние стертые записи. Оказалось, это труды Архимеда, причем некоторые из них были неизвестны. Такие документы (записи, затертые на пергаменте ради новых текстов) называются палимпсестами. (Поразительно, но этот же манускрипт содержит еще две утраченные работы древних авторов.) Одна из работ Архимеда, «Послание к Эратосфену о методе» (книга «Метод механических теорем»), объясняет, как угадать объем шара. Идея в том, чтобы нарезать фигуру на сколь угодно тонкие слои и поместить их на одном конце рычага, а на другом – такие же слои цилиндра и конуса, чьи объемы Архимед уже умел вычислять, и взвесить. По закону равновесия рычага мы найдем требуемое значение объема шара. Сам пергамент был приобретен частным лицом за 2 млн долл. в 1998 г.
Архимед родился в греческих Сиракузах в семье астронома Фидия. Он побывал в Египте, где предположительно изобрел архимедов винт, который вплоть до наших дней широко используется для подъема воды из Нила в ирригационные каналы. Предположительно он побывал и в Александрии у Евклида; по крайней мере, он точно вел переписку с александрийскими математиками.
Его математические способности были непревзойденными и обширными. Он использовал их в полном объеме и построил огромные боевые