Глава 2. Логика формы
В математике существует два основных типа рассуждений: символьный и наглядный. Символьная выкладка ведет историю от числовой записи, и мы вкратце ознакомились с тем, как это привело к изобретению алгебры, где символы могут обозначать скорее обобщенные числа («неизвестные»), чем какие-то конкретные («7»). Начиная со Средних веков и до наших дней математика всё больше опирается на символы: если хотите убедиться, достаточно взглянуть на любой современный математический текст.
Начала геометрии
Наравне с символами математики используют схемы и диаграммы, открывающие неограниченные возможности для визуализации научных выкладок. Картинки менее формальны, чем символы, и чаще всего именно это ставит под вопрос целесообразность их использования. Широко распространено убеждение, будто картинка дает менее строгую и логичную выкладку, чем подсчеты с помощью символов. Это верно: изображение всегда оставляет больший простор для толкований. Более того, картинка может содержать скрытые намеки. Мы не можем изобразить некий «обобщенный» треугольник: любой треугольник будет иметь свою форму и размеры, которые порой не соответствуют случайно выбранной фигуре. Но поскольку визуальная интуиция остается очень мощной особенностью нашего мозга, наглядные образы играют важную роль в математике. Фактически они определяют вторую по важности идею предмета после чисел, т. е. его форму.
Табличка YBC 7289 с клинописными числами
Увлечение математиков формами имеет долгую историю. Даже на вавилонских табличках мы находим диаграммы. Например, на табличке с регистрационным номером YBC 7289 есть квадрат с двумя диагоналями. Его стороны отмечены клинописными символами, означающими 30. Выше на одной из диагоналей стоит 1;24,51,10, а под нею 42;25,35, которое равно произведению первого числа на 30, а также длине этой диагонали. Таким образом, 1;24,51,10 – длина диагонали меньшего квадрата со стороной, равной единице. Теорема Пифагора утверждает, что она равна корню квадратному из 2, и мы обозначаем его как √2. 1;24,51,10 приближает √2 с точностью до шести цифр после запятой.
Первая систематизация с использованием схем, ограниченным применением символов и изрядной долей логики встречается в описании геометрии Евклидом. Он следовал традиции, восходящей к культу Пифагора, чей расцвет пришелся на 500 г. до н. э. Однако Евклид настаивал, что любое положение математики должно иметь логическое доказательство для признания его достоверности. В записях Евклида есть важное нововведение – использование