= (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ Ø = = (AС ∩ ВС ∩ С).
(f) AС ∩ СС = (AС ∩ CС) ∩ (B ∪ BC) = поскольку (B ∪ BC) = U
= (AС ∩ В ∩ СC) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ В ∩ СC) ∪ Ø = = (AС ∩ В ∩ СC).
(g) BС ∩ СС = (BС ∩ CС) ∩ (A ∪ AC) = поскольку (A ∪ AC) = U
= (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ (AСВС ∩ СC) = (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ Ø = = (A ∩ ВC ∩ СC).
(h) (A ∩ В)\(А ∩ В ∩ СС) = (A ∩ В) ∩ (А ∩ В ∩ СС)С = тождество упражнения 1.13.
= (A ∩ В) ∩ (AС ∩ ВС ∩ С) = (А ∩ В ∩ АC) ∪ (А ∩ В ∩ ВС) ∪ ∪ (А ∩ В ∩ C) =
= Ø ∪ Ø ∪ (A ∩ B ∩ CC) = по закону тождества
= A ∩ B ∩ C.
1.18. Доказать, что для заданного универсального множества U и любого множества А ⊆ U дополнение этого множества АС единственно.
Для доказательства используем стандартный математический подход, применяемый при доказательстве единственности. Предположим, что существует два различных дополнения для А и обозначим их как А1c и А2c. Тогда каждое из них должно удовлетворять условиям дополнения
А1c ∩ А = А2c ∩ А = Ø и А1c ∪ А = А2c ∪ А = U.
Поэтому
А1c = А1c ∩ U = А1c ∩ (А2c ∪ А) = по закону дистрибутивности
= (А1c ∩ А2c) ∪ (А1c ∩ А) = по закону дополнения
= (А1c ∩ А2c) ∪ Ø = по закону тождества
= А1c ∩ А2c.
Отсюда следует, что каждый х ∈ А1c является также и элементом
А1c ∩ А2c и из этого следует, что А1c является подмножеством А1c ∩ А2c, т. е. А1c ⊆ А1c ∩ А2c, но поскольку А1c ⊆ А2c по определению, то тогда А1c ⊆ А2c.
Пусть теперь
А2c = А2c ∩ U = А2c ∩ (А1c∪ А) =
Выполнив преобразования, как и в первом случае, получим
= А1c ∩ А2c, т. е. А2c ⊆ А1c, но из этого следует, что
А1c = А2c = АС.
Итак, мы предположили, что существует два дополнения, а затем показали, что они совпадают, и это доказывает единственность дополнения множества А.
1.19. Известно, что для чисел операция равенства является транзитивной, т. е. если a = b и b = c, то из этого следует, что a = c. Свойство транзитивности во многих случаях оказывается очень полезным. Например, если необходимо знать, равны ли все три числа a, b и c, то достаточно проверить равенство только двух любых пар, допустим a = b и b = c, третье равенство a = c можно не проверять – оно будет выполнено в силу транзитивности. Однако если рассматривать операцию ≠, то транзитивность не выполняется. Например, a = 2, b = 3, c = 2 и тогда a ≠ b, b ≠ c, но a = c. Для множеств также операция включения множеств А ⊆ В транзитивна, но операция ⊄ не является транзитивной. Доказать, что если А ⊄ В и В ⊄ С, то из этого не следует А ⊄ С.
Для доказательства достаточно рассмотреть следующий случай. Пусть А и В непустые непересекающиеся множества, и пусть А = С. Тогда А ⊄ В и В ⊄ С, но А ⊆ С.
1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:
если A ∪ B = B ∪ C, то А = В.
Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда А ∪ Ø = Ø ∪ С и А ≠ В.
1.21. Пусть А, В и С непустые попарно