B = {1, 2, 5, 6, 7}; A
C = {1, 2, 6, 7, 8, 9}; B
C = = {3, 5, 8, 9};
(d) A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 6, 7};
(e) (A ∩ B)C = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9};
(f) (A ∪ B) ∩ (B ∩ C)C = {1, 2, 3, 5};
(g) AC ∩ BC ∩ C = {8, 9}.
1.10. Пусть
S4 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 4,
S10 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 10,
S15 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 15.
Найти множество, которое будет их пересечением, т. е. множество S4 ∩ S10 ∩ S15.
Наименьшее число множества пересечения можно найти простым перебором – оно должно делиться на каждое из чисел 4, 10 и 15. Запишем разложение на простые множители, для них 4 = 2 × 2, 10 = 2 × 5 и 15 = 3 × 5. Следовательно, в разложении этого наименьшего числа должны присутствовать числа 2, 3 и 5, их должно быть наименьшее количество, но при этом в разложении должны присутствовать все три пары 2 × 2, 2 × 5 и 3 × 5. Нетрудно написать такое разложение, это будет 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Поэтому
S4 ∩ S10 ∩ S15 = {60×k} = {60, 120, 180, …} и k = 1, 2, 3, …
1.11. Показать, что для множеств А, В, С выполняется
(А\В) ∩ (А\С) = А\(В ∪ С).
Пусть A={1, 2, 3, 4, 7, 8}, B={4, 5, 6, 7}, C={6, 7, 8, 9}.
Тогда A\B={1, 2, 3, 8}, A\C={1, 2, 3, 4} и их пересечение (А\В)∩(А\С)={1, 2, 3}. Затем найдем (B∪C)={4, 5, 6, 7, 8, 9} и А\(В∪С)={1, 2, 3}.
1.12. Пусть А, В и С – целые числа. Тогда из равенства А – В = С, следует, что А = В + С. Можно ли иметь такое же соответствие для множеств? Если А, В и С множества и выполняется, что А\В = С, то верно и что А = В ∪ С.
Такой случай возможен, например, для следующих множеств:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4}, C = {1, 2}.
Здесь А\В = {1, 2} и равно С. Объединение В ∪ С = {1, 2, 3, 4} и равно А.
Диаграммы Венна и подсчет количества элементов множеств
1.13. Показать на диаграммах Венна справедливость следующего равенства:
A\B = A ∩ ВC.
Нарисуем две пересекающиеся области, помеченные А и В, как на рис. 1.24.
Рис. 1.24
На левом рис. 1.24 заштрихована область А\В, на среднем – область ВС и на правом двойной штриховкой показана область пересечения A ∩ ВC. Поскольку двойная штриховка правой диаграммы и штриховка левой диаграммы задают одну и ту же область (одно и то же множество), то это значит, что равенство доказано.
1.14. Обозначим через n(A) количество элементов конечного множества А (называемое также мощностью множества). Пусть имеется два конечных множества А и В и требуется найти количество элементов их объединения, т. е. n(А ∪ В).
Если эти множества не пересекаются, то тогда
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Если имеется пересечение, то тогда разобьем их на подмножества. Множество А разобьем на два непересекающихся подмножества А ∩ ВС и A ∩ В, а множество В на два непересекающиеся подмножества В ∩ АС и A ∩ В, как показано на рис. 1.25
Рис. 1.25
Тогда n(A) = n(А ∩ ВС) + n(А ∩ В) и
n(B) = n(B ∩ AС) + n(А ∩ В).
Сложим эти равенства почленно и получим
n(A) + n(B) = n(А ∩ ВС) + n(B ∩ AС) + n(А ∩ В) + n(А ∩ В).
Из диаграммы видно, что