семь книг») синтетически-апостериорное суждение, претендующее лишь на фактическую обоснованность. И, во-вторых, применяя к опыту не только арифметические понятия, но и арифметические пропозиции, заключая, например, что поскольку 7 +5 = 12, то 7 +5 книг (или что-то еще) также должны быть = 12 книг. Здесь сознание аподиктичности вновь проявляется с полной очевидностью, но опять-таки мы имеем дело лишь с различными способами выражения идентичного факта в одной и той же шкале. Это одни и те же книги, которые мы можем считать как 7 +5 и как 12, то есть которые мы можем суммировать попарно с числовыми звуками один… семь, один… пять и с числовыми звуками один… двенадцать; но сосуществование этих двух возможностей аналитически вытекает из соответствующей чисто арифметической пропозиции и, таким образом, имеет то же доказательство, что и последняя. Это, как мне кажется, в основном решает проблему арифметической определенности; только расширение числового ряда путем введения отрицательных, дробных, иррациональных и мнимых чисел требует краткого комментария. Здесь, после признания неудовлетворительного характера логистического объяснения (стр. 9), будет трудно избежать отвлечений через геометрию; однако эти отвлечения можно критиковать только по эстетическим, но не по логическим соображениям. Ведь если уравнение действительно в чисто арифметическом смысле, то оно действительно, согласно сказанному выше, для любого объекта, а значит, и для отрезков абсцисс; но если оно действительно для них, то все, что можно вывести из него путем геометрических рассуждений, также действительно; и в той мере, в какой это опять-таки происходит в виде уравнений, приравнивающих друг к другу две числовые величины, оно может снова претендовать на чисто арифметическую действительность. Поэтому, при условии более тщательного изучения этих геометрических доказательств, арифметика должна быть признана аналитической наукой.
Если мы теперь обратимся к геометрии, то обнаружим ситуацию, которая в некоторых отношениях похожа на ту, что сложилась для логики и арифметики. Однако важное отличие состоит в том, что здесь в нашем распоряжении для объяснения нет «verae causae», таких как заданное устройство мысли или произвольно введенный стандарт, который мы применяем к опыту, но нам необходимо гипотетическое предположение о психологическом происхождении концепции пространства. Геометрия – это, в конце концов, наука о пространстве: чтобы понять, как возможны суждения об отношениях в этом пространстве, которые делаются с претензией на необходимую и точную обоснованность, мы должны прежде всего знать, что мы на самом деле подразумеваем под этим пространством и как мы приходим к знанию о нем. На эти вопросы, однако, непосредственное самовосприятие дает лишь неопределенный ответ; поэтому оно должно быть дополнено гипотезами, и я полагал (главным образом по психологическим причинам), что должен принять гипотезу Риля, согласно которой
