Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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      Tomemos un x arbitrario. Para cualquier elemento y x, será un ordinal en virtud del Teorema 2.12, en consecuencia y . Luego

      Con ello hemos probado que es saturado, y, por tanto, ordinal.

      Finalmente, si fuera conjunto, , lo que es absurdo en virtud de la Proposición 2.1.

      Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :

      Consideremos x una .E-sección de con x ≠ . En virtud del Teorema 1.7, existe un v de manera que

      Como cada elemento de v es un ordinal,

      con lo que x = v es ordinal.

      Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈

      En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo . La negación de este aserto consiste la paradoja de Burali- Forti. Históricamente fue la primera contradicción que se encontró a la Teoría de Conjuntos de Cantor. Si fuera un número ordinal, sería un elemento de , y ello conduce a que tendría elementos que no son números ordinales, en contra de la definición de . Además se violaría el Axioma de regularidad.

       Definición 2.17:

       Teorema 2.18:

       1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y

       2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces

      3^º Si x ⊂ , entonces x es un ordinal.

       Demostración :

      1^º Si x = y, se verifica trivialmente x ⊂ y. Si x < y, la Definición 2.17 conduce a que x y. Ahora bien, al ser y ordinal, es saturado, por lo que x ⊂ y. El recíproco se deduce de inmediato de la Proposición 2.8.

      2^º Trivial.

      3^º Por la Definición 1.12, del Capítulo 1, tomemos z₁,z₂ IJ®- Existen y\, x tales que

      Ahora bien, debido a que x es un ordinal, y₁, y₂ también lo son (Teorema 2.12) y, a su vez, z1 y Z₂ son ordinales. El Corolario 1.11 conduce a que, o z1 z₂, o z2 z1. Esto prueba que E conecta a x.

      En el razonamiento precedente se ha probado además que los elementos de x son saturados (por ser ordinales). Probemos que x es saturado :

      Sea

      Existe un y x tal que 2 y. Por la condición de saturación, ,

      es decir, u ∁ y; y en virtud de la Proposición 2.8, u y. Con ello se ha probado que u x, de donde

      Luego x es saturado, y por tanto, un ordinal.

      Proposición 2.19: Si x ⊂ y x ≠ , entonces ⋂ x ⊂ x.

       Demostración :

      Debido a que es ordinal, es saturado. Por la condición de saturación, x es ordinal. Por lo tanto, todo elemento de x es ordinal y subconjunto de x. Por esta razón, los elementos de elementos de x también serán miembros de x. En consecuencia,⋂ x ⊂ x.

      Definición 2.20: x + 1 = x {x}.

      Proposición 2.21: Si x Скачать книгу