2. Сложение и вычитание. Второе правило, специфичное для числового поля, состоит в том, что мы должны быть способны складывать и вычитать в любое время дня и ночи и, разумеется, по-прежнему оставаться в границах поля.
Теперь давайте исследуем это правило. Будет ли бесконечная последовательность действительных положительных чисел 1, 2, 3, 4 и т.д. удовлетворять второму правилу числового поля? Нет! Почему нет? Потому что, хотя мы можем складывать любые два числа и их сумма всегда будет еще одни числом в этом поле, мы не можем вычитать любые два числа и по-прежнему получать число в поле. Например, если мы вычитаем 4 из 3, то получаем -1, отрицательное число, не принадлежащее к ряду положительных чисел.
Поэтому, чтобы получить числовое поле, подчиняющееся правилу, согласно которому мы можем складывать и вычитать и по-прежнему оставаться в поле, мы должны допустить присутствие в поле отрицательных чисел. Таким образом, чтобы иметь числовое поле, которое допускает сложение и вычитание, мы должны расширить нашу числовую систему, состоящую только из положительных чисел, включив в нее и отрицательные числа. Новое множество чисел, попадающих в поле таково:
-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4
Рис. 6.2. Поле действительных чисел содержит положительные и отрицательные числа
Поле действительных чисел обладает замыканием, если мы складываем и вычитаем2. Но будет ли поле обладать замыканием, если мы также умножаем и делим? Для этого нам нужно включить в него понятия дробей. Если мы расширяем числовое поле, включая в него не только целые действительные числа, но и дроби, то можем не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить, по-прежнему оставаясь внутри поля.
Короче говоря, удвоенное бесконечное множество положительных и отрицательных целых чисел (и всех промежуточных дробей) может называться числовым полем, поскольку оно удовлетворяет основным правилам числовой игры: поле обладает замыканием; мы можем перемещаться по игровому полю путем сложения, вычитания, умножения и деления и по-прежнему оставаться на поле. На таком поле можно выполнять любую из этих арифметических операций с любыми двумя числами, по-прежнему продолжая играть на поле.
Замыкание и миры
В математике поля обладают замыканием: мы можем перемещаться как угодно, выполняя определенные правила, вроде сложения и вычитания, и по-прежнему оставаться в поле. Замыкание означает, что поле – это своего рода мир в себе.
Каждое поле уникально. На поле действительных чисел мы можем играть, выполняя сложение и вычитание, умножение и деление. На снежных полях мы можем кататься на лыжах. На водных полях мы можем плавать. На сельскохозяйственных полях мы можем выращивать пищу. Но не пытайтесь плавать брассом в снегу[11].
Поля – это миры, в которых развиваются процессы и в которых мы можем перемещаться в соответствии с определенными правилами. Правила для катания на лыжах состоят