1 + 3 + 3 x 3 + 3 x 3 x 3 + 3 x 3 x 3 x 3 + и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы на стр. 54 сумму чисел ряда 1 + 2 + 4 + 8 + и т. д.? Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
3 = 1 x 2 + 1
9 = (1 + 3) x 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) x 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) x 2 + 1
и так далее.
Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел да еще одна единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел такого ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув единицу). Например, сумма чисел
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
В нашем случае каждый узнавший новость передавал ее только троим гражданам. Но если бы жители города были более словоохотливы и сообщали услышанную новость не 3-м, а, например, 5-ти или даже 10-ти другим, то слух распространялся бы, конечно, еще быстрее. Так, при передаче пятерым картина осведомления города была бы такая:
в 8 час … 1 чел.
в 8 1/4 час … 1 + 5 = 6 чел.
8 1/2 час … 6 + 5 x 5 = 31 чел.
8 3/4 час … 31 + 25 x 5 = 156 чел.
9 час … 156 + 125 x 5 = 781 чел.
9 1/4 час … 781 + 625 x 5 = 3906 чел.
9 1/2 час … 3906 + 3125 x 5 = 19531 чел.
Ранее чем в 9 3/4 часа утра новость уже будет известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10-ти другим. Тогда получим такой любопытный ряд чисел:
8 час … 1
8 1/4 час … 1 + 10 = 11
8 1/2 час … 11 + 100 = 111
8 3/4 час … 111 + 1000 = 1111
9 час … 1111 + 10000 = 11111
Следующее число этого ряда, очевидно, 111111; это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
Награда
Вот что, по преданию, произошло много веков тому назад в древнем Риме[2].
Полководец Теренций по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать ему высокое положение в сенате.
Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
– Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
– Чего же желал бы ты от меня, Теренций? – спросил император.
– Выслушай со снисхождением, государь. За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь…
– Продолжай, храбрый Теренций.
– Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, – продолжал ободренный полководец, – то пусть